Номер 2.32, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.32*. Схематически изобразите график функции:

a) $y = 2^{x-|x|}$;

б) $y = 0,5^{\frac{x^2}{|x|}}.$

а) $y = 2^{x-|x|}$

Для построения графика этой функции необходимо раскрыть модуль $|x|$. Рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$.
Функция принимает вид: $y = 2^{x-x} = 2^0 = 1$.
Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$ (т.е. на промежутке $[0, +\infty)$) график функции представляет собой горизонтальный луч, идущий из точки $(0, 1)$ вправо вдоль прямой $y=1$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция принимает вид: $y = 2^{x-(-x)} = 2^{x+x} = 2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$.
Таким образом, для всех отрицательных значений $x$ (т.е. на промежутке $(-\infty, 0)$) график функции совпадает с графиком возрастающей показательной функции $y = 4^x$.
При приближении $x$ к $0$ слева, значение $y$ стремится к $4^0 = 1$. Это означает, что в точке $(0, 1)$ левая часть графика соединяется с правой.

Схематически график состоит из двух частей: ветви экспоненты $y=4^x$ при $x<0$ и горизонтального луча $y=1$ при $x \ge 0$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x < 0$ это часть экспоненты $y = 4^x$, а для $x \ge 0$ это горизонтальный луч $y=1$. В точке $(0,1)$ эти две части плавно соединяются.

б) $y = 0.5^{\frac{x^2}{|x|}}$

Сначала определим область определения функции. Так как в знаменателе показателя степени стоит $|x|$, то $x \ne 0$. Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Упростим выражение в показателе степени. Поскольку $x^2 = |x|^2$, то для любого $x \ne 0$ имеем:
$\frac{x^2}{|x|} = \frac{|x|^2}{|x|} = |x|$.
Таким образом, исходную функцию можно переписать в виде $y = 0.5^{|x|}$ при условии, что $x \ne 0$.

Функция $y = 0.5^{|x|}$ является четной, так как $y(-x) = 0.5^{|-x|} = 0.5^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому достаточно построить график для $x > 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси Oy.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$.
Функция принимает вид: $y = 0.5^x = (\frac{1}{2})^x$.
Это убывающая показательная функция. График проходит через точку $(1, 0.5)$, $(2, 0.25)$ и т.д. При приближении $x$ к $+\infty$ график асимптотически приближается к оси абсцисс ($y \to 0$). При приближении $x$ к $0$ справа, $y$ стремится к $0.5^0 = 1$.

2. Если $x < 0$, то в силу четности, график будет симметричен построенному. Это будет ветвь возрастающей показательной функции $y = 0.5^{-x} = ( (1/2)^{-1} )^x = 2^x$. При приближении $x$ к $0$ слева, $y$ также стремится к $2^0 = 1$.

Поскольку функция не определена в точке $x=0$, то точка с координатами $(0, 1)$ на графике будет выколота (представляет собой разрыв).

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Для $x > 0$ он совпадает с графиком функции $y = (1/2)^x$, а для $x < 0$ — с графиком функции $y = 2^x$. Точка $(0, 1)$ выколота, так как $x=0$ не входит в область определения.