Номер 2.30, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.30*. Выясните, какие из данных функций являются четными, какие — нечетными, а какие не являются ни четными, ни нечетными:

а) $y = 5^x + 5^{-x}$;

б) $y = 3^x - 3^{-x}$;

в) $y = 7^{|x|} + 6$;

г) $y = 2^{|x-8|}$.

Для определения четности функции $y = f(x)$ необходимо проверить выполнение двух условий на ее области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля. Для всех представленных функций область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), что является симметричным множеством.

• Функция является четной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция является нечетной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
• Если ни одно из этих условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

а) $y = 5^x + 5^{-x}$

Обозначим функцию как $f(x) = 5^x + 5^{-x}$.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = 5^{-x} + 5^{-(-x)} = 5^{-x} + 5^x$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией:

$f(-x) = 5^{-x} + 5^x = 5^x + 5^{-x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, данная функция является четной.

Ответ: четная.

б) $y = 3^x - 3^{-x}$

Обозначим функцию как $f(x) = 3^x - 3^{-x}$.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = 3^{-x} - 3^{-(-x)} = 3^{-x} - 3^x$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$. Очевидно, что $f(-x) \neq f(x)$ (кроме $x=0$), значит, функция не является четной.

Теперь проверим условие нечетности $f(-x) = -f(x)$:

$-f(x) = -(3^x - 3^{-x}) = -3^x + 3^{-x} = 3^{-x} - 3^x$.

Мы получили, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, данная функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

в) $y = 7^{|x|} + 6$

Обозначим функцию как $f(x) = 7^{|x|} + 6$.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = 7^{|-x|} + 6$.

Используя свойство модуля $|-x| = |x|$, получаем:

$f(-x) = 7^{|x|} + 6 = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, данная функция является четной.

Ответ: четная.

г) $y = 2^{|x-8|}$

Обозначим функцию как $f(x) = 2^{|x-8|}$.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = 2^{|-x-8|} = 2^{|-(x+8)|} = 2^{|x+8|}$.

Проверим условие четности $f(-x) = f(x)$:

$2^{|x+8|} = 2^{|x-8|}$.

Это равенство не выполняется для всех $x$. Например, при $x=1$:

$f(1) = 2^{|1-8|} = 2^{|-7|} = 2^7 = 128$.

$f(-1) = 2^{|-1-8|} = 2^{|-9|} = 2^9 = 512$.

Так как $f(-1) \neq f(1)$, функция не является четной.

Проверим условие нечетности $f(-x) = -f(x)$:

$f(-x) = 2^{|x+8|}$

$-f(x) = -2^{|x-8|}$

Значение показательной функции всегда положительно, поэтому $f(-x) > 0$. В то же время $-f(x) < 0$. Равенство $f(-x) = -f(x)$ не может выполняться.

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: не является ни четной, ни нечетной.