Номер 2.28, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.28*. Постройте график функции:

а) $y = 3^{|x|}$;

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x-1|}$;

в) $y = |3^x - 2|$;

г) $y = \left|\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} - 4\right|$.

а) $y = 3^{|x|}$

Для построения графика функции $y = 3^{|x|}$ воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = 3^x$. Данная функция является чётной, так как $y(-x) = 3^{|-x|} = 3^{|x|} = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Построение можно выполнить в несколько шагов:

1. Сначала построим график показательной функции $y = 3^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$, а также точки $(1, 3)$ и $(-1, 1/3)$. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.
2. Для $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, поэтому функция принимает вид $y = 3^x$. Таким образом, для неотрицательных значений $x$ график искомой функции совпадает с графиком функции $y = 3^x$. Мы оставляем часть графика $y = 3^x$, которая находится в правой полуплоскости (включая ось Oy).
3. Для $x < 0$, имеем $|x| = -x$, поэтому функция принимает вид $y = 3^{-x}$ или $y = (\frac{1}{3})^x$. Эту часть графика можно получить, отразив симметрично относительно оси Oy ту часть, которую мы построили в шаге 2.

В результате мы получаем график, состоящий из двух ветвей. Правая ветвь — это график $y=3^x$ при $x \ge 0$, а левая — график $y=3^{-x}$ при $x < 0$. График имеет точку минимума в точке $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = 3^{|x|}$ получается из графика функции $y = 3^x$ путём сохранения его части при $x \ge 0$ и симметричного отражения этой части относительно оси Oy.

б) $y = (\frac{1}{2})^{|x-1|}$

График этой функции можно построить с помощью последовательных преобразований графика базовой функции $y = (\frac{1}{2})^x$.

План построения:

1. Строим график функции $y_1 = (\frac{1}{2})^x$. Это убывающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.
2. Строим график функции $y_2 = (\frac{1}{2})^{|x|}$. Для этого часть графика $y_1$ при $x \ge 0$ оставляем без изменений, а часть при $x < 0$ заменяем на симметричное отражение части для $x \ge 0$ относительно оси Oy. Получим график, симметричный относительно оси Oy, с "пиком" в точке $(0, 1)$.
3. Строим искомый график $y = (\frac{1}{2})^{|x-1|}$. Это можно сделать, сдвинув график $y_2$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

В результате ось симметрии графика смещается с $x=0$ на $x=1$. Точка "пика" (максимума) перемещается из $(0, 1)$ в точку $(1, 1)$.
Функцию можно также задать кусочно:
Если $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $y = (\frac{1}{2})^{x-1}$.
Если $x-1 < 0$, то есть $x < 1$, то $y = (\frac{1}{2})^{-(x-1)} = (\frac{1}{2})^{1-x} = 2^{x-1}$.
Таким образом, справа от $x=1$ график является сдвинутой на 1 вправо убывающей экспонентой $y=(\frac{1}{2})^x$, а слева от $x=1$ — сдвинутой на 1 вправо возрастающей экспонентой $y=2^x$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2})^{|x-1|}$ симметричен относительно прямой $x=1$ и имеет точку максимума $(1, 1)$.

в) $y = |3^x - 2|$

Для построения этого графика применим преобразования к графику функции $y = 3^x$.

Порядок действий:

1. Строим график функции $y_1 = 3^x$. Это стандартная возрастающая показательная функция.
2. Строим график функции $y_2 = 3^x - 2$. Для этого сдвигаем график $y_1$ на 2 единицы вниз. Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=-2$. Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, -1)$. График пересекает ось Ox. Найдем точку пересечения: $3^x - 2 = 0 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$. Таким образом, точка пересечения с осью Ox — $(\log_3 2, 0)$.
3. Строим график функции $y = |3^x - 2| = |y_2|$. Для этого часть графика $y_2$, расположенную выше или на оси Ox (где $y_2 \ge 0$), оставляем без изменений. Часть графика $y_2$, расположенную ниже оси Ox (где $y_2 < 0$), симметрично отражаем относительно оси Ox.

В результате преобразования:

• Часть графика при $x \ge \log_3 2$ остается на месте.
• Часть графика при $x < \log_3 2$ отражается вверх. Точка $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$.
• Горизонтальная асимптота $y=-2$ (при $x \to -\infty$) отражается в горизонтальную асимптоту $y=2$.
• В точке $(\log_3 2, 0)$ образуется "излом" (острый угол).

Ответ: График получается из графика $y = 3^x - 2$ отражением его отрицательной части ($x < \log_3 2$) относительно оси Ox. Он имеет горизонтальную асимптоту $y=2$ при $x \to -\infty$ и стремится к $+\infty$ при $x \to +\infty$.

г) $y = |(\frac{1}{2})^{|x|} - 4|$

Построение этого графика требует выполнения нескольких последовательных преобразований.

План построения:

1. Строим график функции $y_1 = (\frac{1}{2})^{|x|}$. Как и в пункте (б), он симметричен относительно оси Oy и имеет максимум в точке $(0, 1)$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.
2. Строим график функции $y_2 = (\frac{1}{2})^{|x|} - 4$. Для этого сдвигаем график $y_1$ на 4 единицы вниз. Максимум перемещается в точку $(0, 1-4) = (0, -3)$. Горизонтальная асимптота смещается на $y=-4$.
3. Проанализируем знак функции $y_2$. Поскольку максимальное значение функции $y_1 = (\frac{1}{2})^{|x|}$ равно 1 (при $x=0$), максимальное значение функции $y_2$ равно $1-4=-3$. Таким образом, $y_2 \le -3$ для всех $x$, и её график полностью лежит ниже оси Ox.
4. Строим искомый график $y = |y_2| = |(\frac{1}{2})^{|x|} - 4|$. Так как $y_2$ всегда отрицательна, то $|y_2| = -y_2$. Следовательно, $y = - ((\frac{1}{2})^{|x|} - 4) = 4 - (\frac{1}{2})^{|x|}$. График этой функции можно получить, отразив график $y_2$ симметрично относительно оси Ox.

Итоговый график:

• Симметричен относительно оси Oy.
• Точка максимума графика $y_2$ в $(0, -3)$ превращается в точку минимума $(0, 3)$ для итогового графика.
• Горизонтальная асимптота $y=-4$ для $y_2$ превращается в горизонтальную асимптоту $y=4$ для итогового графика (график приближается к ней снизу).
• График не пересекает ось Ox, так как его минимальное значение равно 3.

Ответ: График функции $y = |(\frac{1}{2})^{|x|} - 4|$ эквивалентен графику $y = 4 - (\frac{1}{2})^{|x|}$. Он симметричен относительно оси Oy, имеет точку минимума $(0, 3)$ и горизонтальную асимптоту $y=4$.