Номер 2.35, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.35. Постройте график функции:

а) $y = 3^x$;

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

а) $y = 3^x$

Это показательная функция вида $y=a^x$ с основанием $a=3$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей.

Основные свойства функции $y=3^x$:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. Это означает, что график функции полностью лежит выше оси Ox и не пересекает её.
3. Функция возрастает на всей области определения.
4. График проходит через точку $(0, 1)$, поскольку $3^0 = 1$.
5. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему:

Если $x = -2$, то $y = 3^{-2} = \frac{1}{9} \approx 0.11$. Точка $(-2, \frac{1}{9})$.
Если $x = -1$, то $y = 3^{-1} = \frac{1}{3} \approx 0.33$. Точка $(-1, \frac{1}{3})$.
Если $x = 0$, то $y = 3^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
Если $x = 1$, то $y = 3^1 = 3$. Точка $(1, 3)$.
Если $x = 2$, то $y = 3^2 = 9$. Точка $(2, 9)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученная кривая является графиком функции $y=3^x$. Она начинается близко к оси Ox слева, проходит через точку $(0, 1)$ и резко уходит вверх справа.

Ответ: График функции $y=3^x$ – это экспоненциальная кривая, которая проходит через точку $(0, 1)$, возрастает на всей области определения и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$.

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Это показательная функция вида $y=a^x$ с основанием $a = \frac{1}{2}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Основные свойства функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. График функции также полностью лежит выше оси Ox.
3. Функция убывает на всей области определения.
4. График проходит через точку $(0, 1)$, поскольку $\left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$.
5. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек:

Если $x = -2$, то $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
Если $x = -1$, то $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2^1 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
Если $x = 0$, то $y = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
Если $x = 1$, то $y = \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2} = 0.5$. Точка $(1, \frac{1}{2})$.
Если $x = 2$, то $y = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$. Точка $(2, \frac{1}{4})$.

Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. График функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ будет симметричен графику $y=2^x$ относительно оси Oy. Он начинается высоко слева, проходит через точку $(0, 1)$ и приближается к оси Ox справа.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ – это экспоненциальная кривая, которая проходит через точку $(0, 1)$, убывает на всей области определения и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.