Номер 2.41, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.41. Пользуясь свойствами показательной функции, сравните значения выражений:

а) $3^{8,1}$ и $3^{8,01}$;

б) $0,2^{-1,3}$ и $0,2^{0,5}$;

в) $\left(\frac{1}{3}\right)^0$ и $\left(\frac{1}{3}\right)^{1,2}$;

г) $7^{\sqrt{2}}$ и $7^{1,4}$.

Для сравнения значений выражений воспользуемся свойствами показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. То есть, если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. То есть, если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$.

а) Сравнить $3^{8.1}$ и $3^{8.01}$.

Рассмотрим показательную функцию с основанием $a = 3$. Так как $3 > 1$, функция $y = 3^x$ является возрастающей.

Теперь сравним показатели степеней: $8.1$ и $8.01$.

Очевидно, что $8.1 > 8.01$.

Поскольку функция возрастающая, большему показателю степени соответствует большее значение выражения. Следовательно, $3^{8.1} > 3^{8.01}$.

Ответ: $3^{8.1} > 3^{8.01}$.

б) Сравнить $0.2^{-1.3}$ и $0.2^{0.5}$.

Рассмотрим показательную функцию с основанием $a = 0.2$. Так как $0 < 0.2 < 1$, функция $y = 0.2^x$ является убывающей.

Теперь сравним показатели степеней: $-1.3$ и $0.5$.

Очевидно, что $-1.3 < 0.5$.

Поскольку функция убывающая, меньшему показателю степени соответствует большее значение выражения. Следовательно, $0.2^{-1.3} > 0.2^{0.5}$.

Ответ: $0.2^{-1.3} > 0.2^{0.5}$.

в) Сравнить $(\frac{1}{3})^0$ и $(\frac{1}{3})^{1.2}$.

Рассмотрим показательную функцию с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = (\frac{1}{3})^x$ является убывающей.

Сравним показатели степеней: $0$ и $1.2$.

Очевидно, что $0 < 1.2$.

Поскольку функция убывающая, меньшему показателю степени соответствует большее значение выражения. Следовательно, $(\frac{1}{3})^0 > (\frac{1}{3})^{1.2}$.

Ответ: $(\frac{1}{3})^0 > (\frac{1}{3})^{1.2}$.

г) Сравнить $7^{\sqrt{2}}$ и $7^{1.4}$.

Рассмотрим показательную функцию с основанием $a = 7$. Так как $7 > 1$, функция $y = 7^x$ является возрастающей.

Теперь сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $1.4$.

Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты:

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$(1.4)^2 = 1.96$

Поскольку $2 > 1.96$, то и $\sqrt{2} > 1.4$.

Так как функция возрастающая, большему показателю степени соответствует большее значение выражения. Следовательно, $7^{\sqrt{2}} > 7^{1.4}$.

Ответ: $7^{\sqrt{2}} > 7^{1.4}$.