Номер 2.38, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.38. Из данных точек выберите точки, принадлежащие графику функции $y = \left(\frac{1}{9}\right)^x$:

а) A(0; 1);

б) B(-1; -9);

в) C(-2; 81);

г) D($\log_{\frac{1}{9}} 7$; 7);

д) E($\frac{1}{2}$; 3);

е) P($\log_9 7$; 7).

Для того чтобы проверить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = f(x)$, необходимо подставить значение $x_0$ в функцию и проверить, равно ли полученное значение $y_0$. В данном случае, функция $y = (\frac{1}{9})^x$.

а) A(0; 1)
Подставляем координату $x = 0$ в уравнение функции:$y = (\frac{1}{9})^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому:$y = 1$. Полученное значение $y=1$ совпадает с ординатой точки A. Равенство $1 = 1$ верное. Ответ: принадлежит.

б) B(-1; -9)
Подставляем координату $x = -1$ в уравнение функции:$y = (\frac{1}{9})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$. Полученное значение $y=9$ не совпадает с ординатой точки B, которая равна $-9$. Равенство $-9 = 9$ неверное. Ответ: не принадлежит.

в) C(-2; 81)
Подставляем координату $x = -2$ в уравнение функции:$y = (\frac{1}{9})^{-2} = (9^{-1})^{-2} = 9^{(-1) \cdot (-2)} = 9^2 = 81$. Полученное значение $y=81$ совпадает с ординатой точки C. Равенство $81 = 81$ верное. Ответ: принадлежит.

г) D($\log_{\frac{1}{9}} 7$; 7)
Подставляем координату $x = \log_{\frac{1}{9}} 7$ в уравнение функции:$y = (\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{9}} 7}$. Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:$y = 7$. Полученное значение $y=7$ совпадает с ординатой точки D. Равенство $7 = 7$ верное. Ответ: принадлежит.

д) E($\frac{1}{2}$; 3)
Подставляем координату $x = \frac{1}{2}$ в уравнение функции:$y = (\frac{1}{9})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$. Полученное значение $y=\frac{1}{3}$ не совпадает с ординатой точки E, которая равна $3$. Равенство $3 = \frac{1}{3}$ неверное. Ответ: не принадлежит.

е) P($\log_9 7$; 7)
Подставляем координату $x = \log_9 7$ в уравнение функции:$y = (\frac{1}{9})^{\log_9 7}$. Преобразуем основание степени: $\frac{1}{9} = 9^{-1}$.$y = (9^{-1})^{\log_9 7} = 9^{-1 \cdot \log_9 7} = 9^{-\log_9 7}$. Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:$y = 9^{\log_9 7^{-1}} = 9^{\log_9 \frac{1}{7}}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:$y = \frac{1}{7}$. Полученное значение $y=\frac{1}{7}$ не совпадает с ординатой точки P, которая равна $7$. Равенство $7 = \frac{1}{7}$ неверное. Ответ: не принадлежит.