Номер 2.44, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.44. Используйте свойства показательной функции и сравните значение числового выражения с единицей:

а) $5^{-2,8}$;

б) $0,3^{2,7}$;

в) $5,4^{-0,6}$;

г) $(\sqrt[4]{5})^{0,2}$.

Для сравнения значений выражений с единицей воспользуемся основными свойствами показательной функции $y=a^x$, где $a$ — основание, $x$ — показатель степени.

Ключевые свойства:

• Если основание $a > 1$, то показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. В частности, если показатель $x > 0$, то $a^x > a^0 = 1$. Если же показатель $x < 0$, то $a^x < a^0 = 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. В частности, если показатель $x > 0$, то $a^x < a^0 = 1$. Если же показатель $x < 0$, то $a^x > a^0 = 1$.

Применим эти свойства к каждому выражению.

а) $5^{-2,8}$
Основание степени $a = 5$. Так как $5 > 1$, функция $y=5^x$ является возрастающей.
Показатель степени $x = -2,8$. Так как $-2,8 < 0$, значение выражения будет меньше единицы.
Сравниваем с $5^0 = 1$: поскольку $-2,8 < 0$, то $5^{-2,8} < 5^0$, следовательно, $5^{-2,8} < 1$.
Ответ: $5^{-2,8} < 1$.

б) $0,3^{2,7}$
Основание степени $a = 0,3$. Так как $0 < 0,3 < 1$, функция $y=0,3^x$ является убывающей.
Показатель степени $x = 2,7$. Так как $2,7 > 0$, значение выражения будет меньше единицы.
Сравниваем с $0,3^0 = 1$: поскольку функция убывающая и $2,7 > 0$, то $0,3^{2,7} < 0,3^0$, следовательно, $0,3^{2,7} < 1$.
Ответ: $0,3^{2,7} < 1$.

в) $5,4^{-0,6}$
Основание степени $a = 5,4$. Так как $5,4 > 1$, функция $y=5,4^x$ является возрастающей.
Показатель степени $x = -0,6$. Так как $-0,6 < 0$, значение выражения будет меньше единицы.
Сравниваем с $5,4^0 = 1$: поскольку $-0,6 < 0$, то $5,4^{-0,6} < 5,4^0$, следовательно, $5,4^{-0,6} < 1$.
Ответ: $5,4^{-0,6} < 1$.

г) $(\sqrt[4]{5})^{0,2}$
Основание степени $a = \sqrt[4]{5}$. Так как $5 > 1$, то и корень любой натуральной степени из пяти будет больше единицы, то есть $\sqrt[4]{5} > 1$. Значит, функция $y=(\sqrt[4]{5})^x$ является возрастающей.
Показатель степени $x = 0,2$. Так как $0,2 > 0$, значение выражения будет больше единицы.
Сравниваем с $(\sqrt[4]{5})^0 = 1$: поскольку $0,2 > 0$, то $(\sqrt[4]{5})^{0,2} > (\sqrt[4]{5})^0$, следовательно, $(\sqrt[4]{5})^{0,2} > 1$.
Можно также предварительно упростить выражение: $(\sqrt[4]{5})^{0,2} = (5^{1/4})^{0,2} = 5^{1/4 \cdot 0,2} = 5^{0,05}$. Основание $5>1$, показатель $0,05>0$, значит $5^{0,05} > 5^0=1$.
Ответ: $(\sqrt[4]{5})^{0,2} > 1$.