Номер 2.45, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.45. График функции $y = a^x$ проходит через точку $A(4; 25)$. Проходит ли этот график через точку:

а) $C(6; 125)$;

б) $B(-6; 0,008)$?

Поскольку график функции $y = a^x$ проходит через точку A(4; 25), ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x = 4$ и $y = 25$ в уравнение:

$25 = a^4$

Чтобы найти основание $a$, извлечем корень четвертой степени. Так как для показательной функции основание $a > 0$, мы ищем положительное значение.

$a = \sqrt[4]{25} = \sqrt[4]{5^2} = 5^\frac{2}{4} = 5^\frac{1}{2} = \sqrt{5}$

Таким образом, уравнение функции имеет вид: $y = (\sqrt{5})^x$.

Теперь проверим, проходят ли через этот график точки C и B.

а) C(6; 125)
Подставим координату $x = 6$ точки C в уравнение функции и найдем соответствующее значение $y$:

$y = (\sqrt{5})^6 = (5^\frac{1}{2})^6 = 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 5^3 = 125$

Полученное значение $y = 125$ совпадает с координатой $y$ точки C. Следовательно, график функции проходит через точку C.

Ответ: да, проходит.

б) B(-6; 0,008)
Подставим координату $x = -6$ точки B в уравнение функции и найдем соответствующее значение $y$:

$y = (\sqrt{5})^{-6} = (5^\frac{1}{2})^{-6} = 5^{\frac{1}{2} \cdot (-6)} = 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$

Теперь преобразуем координату $y$ точки B из десятичной дроби в обыкновенную:

$0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125}$

Полученное значение $y = \frac{1}{125}$ совпадает с координатой $y$ точки B. Следовательно, график функции проходит через точку B.

Ответ: да, проходит.