Номер 2.37, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.37. Среди рисунков 13, а–г выберите тот, на котором изображен график функции $y = a^x$, где $0 < a < 1$.

а) б) в) г) Рис. 13

Рассмотрим свойства показательной функции $y = a^x$ при условии $0 < a < 1$.

• Область определения: все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $y \in (0, +\infty)$. Это означает, что график функции полностью лежит выше оси абсцисс (оси Ox).
• Точка пересечения с осью ординат: при $x = 0$, значение функции равно $y = a^0 = 1$. Следовательно, график любой показательной функции с основанием $a \neq 1$ проходит через точку с координатами $(0, 1)$.
• Монотонность: поскольку основание степени $a$ находится в интервале $(0, 1)$, функция является убывающей на всей области определения. То есть, большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.
• Асимптоты: при неограниченном возрастании аргумента ($x \to +\infty$), значения функции стремятся к нулю ($y = a^x \to 0$). Таким образом, ось абсцисс (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции. При $x \to -\infty$, значения функции неограниченно возрастают ($y = a^x \to +\infty$).

Теперь проанализируем каждый из предложенных графиков в соответствии с этими свойствами:

а) На этом рисунке изображен график функции, область определения которой $x > 0$. График пересекает ось абсцисс в точке $(1, 0)$ и не пересекает ось ординат. Это характерные признаки логарифмической функции $y = \log_b(x)$ при $b > 1$. Этот график не подходит.

б) График на этом рисунке соответствует всем перечисленным выше свойствам функции $y = a^x$ при $0 < a < 1$:

• График расположен в верхней полуплоскости (область значений $y > 0$).
• График проходит через точку $(0, 1)$.
• Функция является убывающей на всей числовой прямой.
• Ось Ox является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.

Следовательно, этот график является искомым.

в) На этом рисунке изображена парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси ординат. Это график четной квадратичной функции вида $y = kx^2$ при $k > 0$. Показательная функция $y=a^x$ не является ни четной, ни нечетной, и ее график не является параболой. Этот график не подходит.

г) На этом рисунке также изображен график показательной функции $y = a^x$. Он проходит через точку $(0, 1)$ и расположен выше оси Ox. Однако эта функция является возрастающей, что характерно для показательной функции с основанием $a > 1$. Этот график не подходит.

Таким образом, единственным графиком, на котором изображена функция $y = a^x$ при $0 < a < 1$, является график на рисунке б).

Ответ: б)