Номер 2.56, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.56. Представьте числа $1$; $25$; $625$; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{125}$; $\sqrt{5}$; $\sqrt[3]{25}$ в виде степени с основанием $5$.

1
Согласно свойству степени, любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Поэтому, чтобы представить число 1 в виде степени с основанием 5, нужно возвести 5 в степень 0.
$1 = 5^0$
Ответ: $5^0$

25
Число 25 является результатом умножения 5 на само себя, то есть квадратом числа 5.
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
Ответ: $5^2$

625
Найдем степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 625.
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
Следовательно, 625 это 5 в четвертой степени.
$625 = 5^4$
Ответ: $5^4$

$\frac{1}{5}$
Для представления дроби в виде степени используется свойство отрицательного показателя: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. В данном случае $a=5$ и $n=1$.
$\frac{1}{5} = \frac{1}{5^1} = 5^{-1}$
Ответ: $5^{-1}$

$\frac{1}{125}$
Сначала представим знаменатель 125 как степень числа 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$. Затем применим свойство отрицательного показателя.
$\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$
Ответ: $5^{-3}$

$\sqrt{5}$
Корень можно представить в виде степени с дробным показателем по формуле $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$. Квадратный корень имеет показатель корня $n=2$.
$\sqrt{5} = \sqrt[2]{5^1} = 5^{\frac{1}{2}}$
Ответ: $5^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{25}$
Для решения представим подкоренное выражение 25 в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$. Затем воспользуемся свойством корня из степени: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}$
Ответ: $5^{\frac{2}{3}}$