Номер 2.72, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.72. Упростите выражение:

a) $\sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \cdot 2^{-3};$

б) $\frac{4 \cdot 0,25^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{32}};$

в) $\frac{8 \cdot 2^{-3} \cdot \sqrt{8}}{128^{0,25}}.$

а) $ \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{2})^{-3} \cdot 2^{-3} $
Для упрощения этого выражения представим все его множители в виде степени с основанием 2.
$ \sqrt{2} $ можно записать как $ 2^{\frac{1}{2}} $.
$ (\frac{1}{2})^{-3} $ можно преобразовать, используя свойство степени $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ и то, что $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $:
$ (\frac{1}{2})^{-3} = (2^{-1})^{-3} = 2^{(-1) \cdot (-3)} = 2^3 $.
Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$ 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^3 \cdot 2^{-3} $
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $):
$ 2^{\frac{1}{2} + 3 + (-3)} = 2^{\frac{1}{2}} $.
Выражение $ 2^{\frac{1}{2}} $ равно $ \sqrt{2} $.
Также можно заметить, что $ 2^3 \cdot 2^{-3} = 2^{3-3} = 2^0 = 1 $. Тогда выражение мгновенно упрощается до $ \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} $.
Ответ: $ \sqrt{2} $

б) $ \frac{4 \cdot 0,25^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{32}} $
Представим все числа в числителе и знаменателе в виде степеней с основанием 2.
$ 4 = 2^2 $.
$ 0,25 $ — это десятичная дробь, равная $ \frac{1}{4} $, что в свою очередь равно $ \frac{1}{2^2} = 2^{-2} $. Тогда:
$ 0,25^{-\frac{1}{2}} = (2^{-2})^{-\frac{1}{2}} = 2^{(-2) \cdot (-\frac{1}{2})} = 2^1 = 2 $.
$ 32 = 2^5 $, следовательно $ \sqrt{32} = (2^5)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} $.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$ \frac{2^2 \cdot 2}{2^{\frac{5}{2}}} = \frac{2^{2+1}}{2^{\frac{5}{2}}} = \frac{2^3}{2^{\frac{5}{2}}} $
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):
$ 2^{3 - \frac{5}{2}} = 2^{\frac{6}{2} - \frac{5}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} $.
Ответ: $ \sqrt{2} $

в) $ \frac{8 \cdot 2^{-3} \cdot \sqrt{8}}{128^{0,25}} $
Как и в предыдущих примерах, представим все числа в виде степеней с основанием 2.
Преобразуем числитель:
$ 8 = 2^3 $.
$ \sqrt{8} = \sqrt{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} $.
Числитель равен: $ 2^3 \cdot 2^{-3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} = 2^{3 - 3 + \frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} $.
Преобразуем знаменатель:
$ 128 = 2^7 $.
$ 0,25 = \frac{1}{4} $.
Знаменатель равен: $ 128^{0,25} = (2^7)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{7}{4}} $.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{7}{4}}} = 2^{\frac{3}{2} - \frac{7}{4}} $
Приведем показатели к общему знаменателю:
$ 2^{\frac{6}{4} - \frac{7}{4}} = 2^{-\frac{1}{4}} $.
Ответ: $ 2^{-\frac{1}{4}} $