Номер 2.124, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

а) Чтобы найти абсциссу точки пересечения, необходимо приравнять выражения для $y$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

$y = 5^{2x+1} - 3 \cdot 5^{2x-1}$ и $y = 550$

$5^{2x+1} - 3 \cdot 5^{2x-1} = 550$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойства степеней:

$5^{2x} \cdot 5^1 - 3 \cdot 5^{2x} \cdot 5^{-1} = 550$

Вынесем общий множитель $5^{2x}$ за скобки:

$5^{2x}(5 - 3 \cdot 5^{-1}) = 550$

$5^{2x}(5 - \frac{3}{5}) = 550$

$5^{2x}(\frac{25 - 3}{5}) = 550$

$5^{2x} \cdot \frac{22}{5} = 550$

Теперь выразим $5^{2x}$:

$5^{2x} = 550 \cdot \frac{5}{22}$

$5^{2x} = 25 \cdot 5$

$5^{2x} = 125$

Представим 125 в виде степени с основанием 5:

$5^{2x} = 5^3$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: $1,5$.

б) Приравняем выражения для $y$:

$y = 10^{x+2} - 7 \cdot 10^{x+1} + 10^x$ и $y = 3,1$

$10^{x+2} - 7 \cdot 10^{x+1} + 10^x = 3,1$

Вынесем общий множитель $10^x$ за скобки:

$10^x \cdot 10^2 - 7 \cdot 10^x \cdot 10^1 + 10^x = 3,1$

$10^x(10^2 - 7 \cdot 10 + 1) = 3,1$

$10^x(100 - 70 + 1) = 3,1$

$10^x \cdot 31 = 3,1$

Выразим $10^x$:

$10^x = \frac{3,1}{31}$

$10^x = 0,1$

Представим 0,1 в виде степени с основанием 10:

$10^x = 10^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$x = -1$

Ответ: $-1$.

в) Приравняем выражения для $y$:

$y = 5^{3x-2} - 6 \cdot 5^{3x} + 4 \cdot 5^{3x-1}$ и $y = -645$

$5^{3x-2} - 6 \cdot 5^{3x} + 4 \cdot 5^{3x-1} = -645$

Вынесем общий множитель $5^{3x}$ за скобки:

$5^{3x} \cdot 5^{-2} - 6 \cdot 5^{3x} + 4 \cdot 5^{3x} \cdot 5^{-1} = -645$

$5^{3x}(5^{-2} - 6 + 4 \cdot 5^{-1}) = -645$

$5^{3x}(\frac{1}{25} - 6 + \frac{4}{5}) = -645$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$5^{3x}(\frac{1}{25} - \frac{150}{25} + \frac{20}{25}) = -645$

$5^{3x}(\frac{1 - 150 + 20}{25}) = -645$

$5^{3x}(-\frac{129}{25}) = -645$

Выразим $5^{3x}$:

$5^{3x} = -645 \cdot (-\frac{25}{129})$

$5^{3x} = \frac{645 \cdot 25}{129}$

Так как $645 = 5 \cdot 129$, то:

$5^{3x} = 5 \cdot 25$

$5^{3x} = 125$

Представим 125 в виде степени с основанием 5:

$5^{3x} = 5^3$

Приравниваем показатели степеней:

$3x = 3$

$x = 1$

Ответ: $1$.