Номер 2.128, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.128. Найдите область определения функции $y = \frac{1}{8 - 5 \cdot 4^x - 8 \cdot 2^x}$.

Область определения функции $y = \frac{1}{8 - 5 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^x}$ — это множество всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Следовательно, необходимо решить неравенство:

$8 - 5 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^x \neq 0$

Для этого сначала найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:

$8 - 5 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^x = 0$

Преобразуем уравнение, заметив, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$:

$8 - 5 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ и упорядочим члены, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$5 \cdot (2^x)^2 + 3 \cdot 2^x - 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то должно выполняться условие $t > 0$.

В результате замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$5t^2 + 3t - 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

Найдем значения $t$:

$t_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{-16}{10} = -1.6$

$t_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. Для $t_1 = -1.6$ получаем уравнение $2^x = -1.6$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$. Таким образом, $t_1 = -1.6$ — посторонний корень.

2. Для $t_2 = 1$ получаем уравнение:

$2^x = 1$

Представим 1 как степень с основанием 2:

$2^x = 2^0$

Отсюда следует, что $x = 0$.

Таким образом, знаменатель функции обращается в ноль при $x = 0$. Это единственное значение, которое необходимо исключить из области определения функции.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$