Номер 2.142, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.142. Из чисел $\sqrt[3]{7}$; 2,(3); $\pi$; $-3\frac{1}{7}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$; 0; $\sqrt[5]{-3}$ выберите все иррациональные. Какому числовому множеству принадлежат все оставшиеся числа? Какому числовому множеству принадлежат все данные числа?

Выберите все иррациональные

Проанализируем каждое число из заданного множества: $\sqrt[3]{7}$; 2,(3); $\pi$; $-3\frac{1}{7}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$; 0; $\sqrt[5]{-3}$. Иррациональное число — это вещественное число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число.
• $\sqrt[3]{7}$: является иррациональным числом, так как 7 не является точным кубом никакого рационального числа.
• 2,(3): является рациональным числом. Это периодическая дробь, которую можно представить в виде обыкновенной: $2,(3) = 2\frac{3}{9} = 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
• $\pi$: является иррациональным числом по определению (это трансцендентное число).
• $-3\frac{1}{7}$: является рациональным числом, так как это смешанное число можно представить в виде дроби $-\frac{22}{7}$.
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$: является иррациональным числом, так как $\sqrt{2}$ иррационально, а деление иррационального числа на ненулевое рациональное число дает в результате иррациональное число.
• 0: является рациональным числом, так как относится к целым числам и может быть представлено как $\frac{0}{1}$.
• $\sqrt[5]{-3}$: является иррациональным числом, так как не существует рационального числа, пятая степень которого равна -3.
Ответ: $\sqrt[3]{7}$; $\pi$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\sqrt[5]{-3}$.

Какому числовому множеству принадлежат все оставшиеся числа?

Оставшиеся числа — это 2,(3); $-3\frac{1}{7}$; 0. Как было показано выше, все они являются рациональными, так как могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$ (где $m$ - целое, $n$ - натуральное): $2,(3) = \frac{7}{3}$, $-3\frac{1}{7} = -\frac{22}{7}$, $0 = \frac{0}{1}$. Множество, которое объединяет все такие числа, называется множеством рациональных чисел.
Ответ: Множеству рациональных чисел ($\mathbb{Q}$).

Какому числовому множеству принадлежат все данные числа?

Все данные в задаче числа, которые включают как рациональные (2,(3); $-3\frac{1}{7}$; 0), так и иррациональные ($\sqrt[3]{7}$; $\pi$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\sqrt[5]{-3}$), вместе образуют множество действительных (или вещественных) чисел. Это множество является объединением множества рациональных и множества иррациональных чисел.
Ответ: Множеству действительных чисел ($\mathbb{R}$).