Номер 2.149, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.149. Решите уравнение $\sqrt{1-x} + 1 = \sqrt{4-x}$.

Данное уравнение: $\sqrt{1 - x} + 1 = \sqrt{4 - x}$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как подкоренные выражения не могут быть отрицательными, должны выполняться следующие условия:

$\left\{\begin{array}{l}1 - x \ge 0 \\ 4 - x \ge 0\end{array}\right.$

Решим эту систему неравенств:

$\left\{\begin{array}{l}x \le 1 \\ x \le 4\end{array}\right.$

Пересечением этих двух условий является $x \le 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 1]$.

Теперь приступим к решению уравнения. Чтобы избавиться от корней, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{1 - x} + 1)^2 = (\sqrt{4 - x})^2$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{1 - x})^2 + 2 \cdot \sqrt{1 - x} \cdot 1 + 1^2 = 4 - x$

$1 - x + 2\sqrt{1 - x} + 1 = 4 - x$

Приведем подобные слагаемые:

$2 - x + 2\sqrt{1 - x} = 4 - x$

Уединим радикал в левой части уравнения, перенеся остальные члены в правую часть:

$2\sqrt{1 - x} = 4 - x - (2 - x)$

$2\sqrt{1 - x} = 4 - x - 2 + x$

$2\sqrt{1 - x} = 2$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{1 - x} = 1$

Снова возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы окончательно избавиться от корня:

$(\sqrt{1 - x})^2 = 1^2$

$1 - x = 1$

$-x = 1 - 1$

$-x = 0$

$x = 0$

Проверим, соответствует ли найденный корень $x=0$ области допустимых значений. Условие ОДЗ: $x \le 1$. Поскольку $0 \le 1$, корень принадлежит ОДЗ.

Для полной уверенности выполним проверку, подставив $x=0$ в исходное уравнение:

$\sqrt{1 - 0} + 1 = \sqrt{4 - 0}$

$\sqrt{1} + 1 = \sqrt{4}$

$1 + 1 = 2$

$2 = 2$

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $x=0$