Номер 2.151, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.151. Найдите значение выражения:

a) $10\sin105^\circ \cdot \cos465^\circ$;

б) $\sin410^\circ \cdot \sin230^\circ - \sin400^\circ \cdot \sin140^\circ$.

а) $10\sin105^\circ \cdot \cos465^\circ$

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы приведения и тригонометрические тождества.

1. Упростим аргумент косинуса. Так как тригонометрические функции периодичны с периодом $360^\circ$, мы можем вычесть $360^\circ$ из аргумента:

$\cos465^\circ = \cos(360^\circ + 105^\circ) = \cos105^\circ$.

2. Теперь исходное выражение принимает вид:

$10\sin105^\circ \cdot \cos105^\circ$.

3. Воспользуемся формулой синуса двойного угла, которая гласит: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Чтобы применить ее, представим наше выражение следующим образом:

$10\sin105^\circ \cdot \cos105^\circ = 5 \cdot (2\sin105^\circ\cos105^\circ)$.

4. Применяем формулу двойного угла для выражения в скобках:

$5 \cdot (2\sin105^\circ\cos105^\circ) = 5\sin(2 \cdot 105^\circ) = 5\sin(210^\circ)$.

5. Теперь найдем значение $\sin(210^\circ)$. Используем формулу приведения $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$:

$\sin(210^\circ) = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin(30^\circ)$.

6. Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

7. Подставляем это значение в наше выражение:

$5 \cdot (-\sin30^\circ) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2.5$.

Ответ: -2.5.

б) $\sin410^\circ \cdot \sin230^\circ - \sin400^\circ \cdot \sin140^\circ$

Для упрощения этого выражения также воспользуемся формулами приведения и периодичностью тригонометрических функций.

1. Упростим каждый из четырех тригонометрических множителей:

• $\sin410^\circ = \sin(360^\circ + 50^\circ) = \sin50^\circ$
• $\sin230^\circ = \sin(270^\circ - 40^\circ) = -\cos40^\circ$
• $\sin400^\circ = \sin(360^\circ + 40^\circ) = \sin40^\circ$
• $\sin140^\circ = \sin(90^\circ + 50^\circ) = \cos50^\circ$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\sin50^\circ \cdot (-\cos40^\circ) - \sin40^\circ \cdot \cos50^\circ$.

3. Вынесем знак минус за скобки, чтобы увидеть знакомую структуру:

$-(\sin50^\circ\cos40^\circ + \cos50^\circ\sin40^\circ)$.

4. Выражение в скобках представляет собой развернутую формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

5. В нашем случае $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 40^\circ$. Применим формулу:

$-(\sin(50^\circ + 40^\circ)) = -\sin(90^\circ)$.

6. Значение $\sin(90^\circ)$ равно 1.

7. Таким образом, окончательный результат:

$-\sin(90^\circ) = -1$.

Ответ: -1.