Номер 2.146, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.146. Воспользуйтесь формулой разности квадратов и сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}$;б) $\frac{x + \sqrt[4]{5}}{x^2 - \sqrt{5}}$;в) $\frac{\sqrt[6]{m} + \sqrt[6]{n}}{\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}}$;г) $\frac{\sqrt{c} - \sqrt{d}}{\sqrt[4]{d} - \sqrt[4]{c}}$.

Для решения всех задач воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

а) $\frac{\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}$

Представим знаменатель дроби в виде разности квадратов. Для этого заметим, что $\sqrt[4]{a} = (\sqrt[8]{a})^2$ и $\sqrt[4]{b} = (\sqrt[8]{b})^2$.
Тогда знаменатель можно разложить на множители:
$\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b} = (\sqrt[8]{a})^2 - (\sqrt[8]{b})^2 = (\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})$.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b}}{(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})} = \frac{1}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$.

б) $\frac{x + \sqrt[4]{5}}{x^2 - \sqrt{5}}$

Применим формулу разности квадратов к знаменателю. Заметим, что $\sqrt{5} = (\sqrt[4]{5})^2$.
Следовательно, знаменатель можно разложить следующим образом:
$x^2 - \sqrt{5} = x^2 - (\sqrt[4]{5})^2 = (x - \sqrt[4]{5})(x + \sqrt[4]{5})$.
Подставим это выражение в дробь и выполним сокращение:
$\frac{x + \sqrt[4]{5}}{(x - \sqrt[4]{5})(x + \sqrt[4]{5})} = \frac{1}{x - \sqrt[4]{5}}$.
Ответ: $\frac{1}{x - \sqrt[4]{5}}$.

в) $\frac{\sqrt[6]{m} + \sqrt[6]{n}}{\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n}}$

Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов. Учтем, что $\sqrt[3]{m} = (\sqrt[6]{m})^2$ и $\sqrt[3]{n} = (\sqrt[6]{n})^2$.
Разложим знаменатель на множители:
$\sqrt[3]{m} - \sqrt[3]{n} = (\sqrt[6]{m})^2 - (\sqrt[6]{n})^2 = (\sqrt[6]{m} - \sqrt[6]{n})(\sqrt[6]{m} + \sqrt[6]{n})$.
Подставим разложение в исходную дробь и сократим:
$\frac{\sqrt[6]{m} + \sqrt[6]{n}}{(\sqrt[6]{m} - \sqrt[6]{n})(\sqrt[6]{m} + \sqrt[6]{n})} = \frac{1}{\sqrt[6]{m} - \sqrt[6]{n}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{m} - \sqrt[6]{n}}$.

г) $\frac{\sqrt{c} - \sqrt{d}}{\sqrt[4]{d} - \sqrt[4]{c}}$

В данном случае применим формулу разности квадратов к числителю. Заметим, что $\sqrt{c} = (\sqrt[4]{c})^2$ и $\sqrt{d} = (\sqrt[4]{d})^2$.
Разложим числитель на множители:
$\sqrt{c} - \sqrt{d} = (\sqrt[4]{c})^2 - (\sqrt[4]{d})^2 = (\sqrt[4]{c} - \sqrt[4]{d})(\sqrt[4]{c} + \sqrt[4]{d})$.
Теперь подставим это в дробь:
$\frac{(\sqrt[4]{c} - \sqrt[4]{d})(\sqrt[4]{c} + \sqrt[4]{d})}{\sqrt[4]{d} - \sqrt[4]{c}}$.
Вынесем в знаменателе $-1$ за скобки, чтобы получить общий множитель с числителем: $\sqrt[4]{d} - \sqrt[4]{c} = -(\sqrt[4]{c} - \sqrt[4]{d})$.
$\frac{(\sqrt[4]{c} - \sqrt[4]{d})(\sqrt[4]{c} + \sqrt[4]{d})}{-(\sqrt[4]{c} - \sqrt[4]{d})}$.
Сократим дробь на $(\sqrt[4]{c} - \sqrt[4]{d})$:
$\frac{\sqrt[4]{c} + \sqrt[4]{d}}{-1} = -(\sqrt[4]{c} + \sqrt[4]{d})$.
Ответ: $-(\sqrt[4]{c} + \sqrt[4]{d})$.