Номер 2.148, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.148. За январь, февраль и март зарплата работника суммарно составила 2160 р., а за апрель, май, июнь — 2430 р. При этом по условиям контракта зарплата в течение года ежемесячно увеличивается на одну и ту же величину. Какой будет зарплата за сентябрь?

Поскольку зарплата работника ежемесячно увеличивается на одну и ту же величину, ее значения по месяцам образуют арифметическую прогрессию. Обозначим зарплату за первый месяц (январь) как $a_1$, а ежемесячное увеличение (разность прогрессии) как $d$. Тогда зарплата за n-й месяц года вычисляется по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию, суммарная зарплата за январь, февраль и март ($a_1, a_2, a_3$) составила 2160 р. Запишем это в виде уравнения: $a_1 + a_2 + a_3 = 2160$ Используя свойство арифметической прогрессии, согласно которому сумма трех последовательных членов равна утроенному среднему члену ($a_1 + a_2 + a_3 = 3a_2$), получим: $3a_2 = 2160$ $a_2 = \frac{2160}{3} = 720$ р. Таким образом, зарплата за февраль (второй месяц) составила 720 р.

Аналогично, суммарная зарплата за апрель, май и июнь ($a_4, a_5, a_6$) составила 2430 р. $a_4 + a_5 + a_6 = 2430$ Используя то же свойство для этих трех последовательных членов ($a_4 + a_5 + a_6 = 3a_5$), получим: $3a_5 = 2430$ $a_5 = \frac{2430}{3} = 810$ р. Таким образом, зарплата за май (пятый месяц) составила 810 р.

Теперь, зная два члена прогрессии ($a_2$ и $a_5$), мы можем найти разность прогрессии $d$. Связь между $a_5$ и $a_2$ выражается формулой: $a_5 = a_2 + (5-2)d$ Подставим известные значения: $810 = 720 + 3d$ $3d = 810 - 720$ $3d = 90$ $d = \frac{90}{3} = 30$ р. Это означает, что зарплата ежемесячно увеличивается на 30 рублей.

Нам необходимо найти зарплату за сентябрь, то есть 9-й член прогрессии ($a_9$). Мы можем вычислить его, используя уже известный член прогрессии, например, $a_5$, и разность $d$: $a_9 = a_5 + (9-5)d$ $a_9 = a_5 + 4d$ Подставим значения $a_5=810$ и $d=30$: $a_9 = 810 + 4 \times 30$ $a_9 = 810 + 120$ $a_9 = 930$ р.

Ответ: 930 р.