Номер 2.150, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.150. Расположите числа $4^{\frac{1}{3}}$; $3^{\frac{1}{2}}$; $5^{\frac{1}{6}}$ в порядке возрастания.

Для того чтобы сравнить числа $4^{\frac{1}{3}}$, $3^{\frac{1}{2}}$ и $5^{\frac{1}{6}}$, необходимо привести их к общему показателю степени. Показатели степеней в данном случае — это дроби $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{6}$.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (3, 2 и 6). Наименьшее общее кратное для этих чисел равно 6. Следовательно, мы можем привести все три числа к степени с показателем $\frac{1}{6}$.

Выполним преобразование для каждого числа:

• Первое число: $4^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}} = 4^{\frac{2}{6}} = (4^2)^{\frac{1}{6}} = 16^{\frac{1}{6}}$.
• Второе число: $3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}} = 3^{\frac{3}{6}} = (3^3)^{\frac{1}{6}} = 27^{\frac{1}{6}}$.
• Третье число $5^{\frac{1}{6}}$ уже имеет необходимый показатель.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $16^{\frac{1}{6}}$, $27^{\frac{1}{6}}$ и $5^{\frac{1}{6}}$.

Поскольку все числа возводятся в одну и ту же положительную степень ($\frac{1}{6}$), то большим будет то число, у которого больше основание. Сравним основания этих степеней:

$5 < 16 < 27$

Соответственно, и числа, возведенные в степень $\frac{1}{6}$, будут находиться в таком же соотношении:

$5^{\frac{1}{6}} < 16^{\frac{1}{6}} < 27^{\frac{1}{6}}$

Теперь заменим преобразованные числа на их исходные выражения, чтобы получить окончательный ответ.

$5^{\frac{1}{6}} < 4^{\frac{1}{3}} < 3^{\frac{1}{2}}$

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $5^{\frac{1}{6}}$, $4^{\frac{1}{3}}$, $3^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $5^{\frac{1}{6}}$; $4^{\frac{1}{3}}$; $3^{\frac{1}{2}}$.