Номер 2.144, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.144. Из неравенств:

а) $x^2 - x + 5 \le 0$;
б) $6x + 3 \ge 2(3x + 1)$;
в) $5x^2 \le 0$;
г) $(x - 3)^2 (x + 7)^2 < 0$

— выберите все неравенства, равносильные неравенству $5x - 8 > 7x - 2(x - 9)$.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы выбрать неравенства, равносильные данному, сначала найдем множество решений неравенства $5x - 8 > 7x - 2(x - 9)$.

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные слагаемые:

$5x - 8 > 7x - 2x + 18$

$5x - 8 > 5x + 18$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:

$5x - 5x > 18 + 8$

$0 \cdot x > 26$

$0 > 26$

Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Теперь необходимо найти все неравенства из предложенных, которые также не имеют решений.

а) $x^2 - x + 5 \le 0$
Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - x + 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$. Поскольку $D < 0$, квадратный трехчлен не имеет действительных корней, а так как ветви параболы направлены вверх, то выражение $x^2 - x + 5$ всегда положительно. Следовательно, неравенство $x^2 - x + 5 \le 0$ не имеет решений. Множество решений — $\emptyset$. Это неравенство равносильно исходному.

б) $6x + 3 \ge 2(3x + 1)$
Раскроем скобки: $6x + 3 \ge 6x + 2$. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону: $6x - 6x \ge 2 - 3$. Получим $0 \ge -1$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любых значениях $x$. Множество решений — все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$. Это неравенство не равносильно исходному.

в) $5x^2 \le 0$
Разделим обе части неравенства на 5: $x^2 \le 0$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Следовательно, неравенство $x^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: если $x^2 = 0$, что происходит при $x = 0$. Множество решений состоит из одного числа $\{0\}$. Это неравенство не равносильно исходному.

г) $(x - 3)^2(x + 7)^2 < 0$
Левая часть неравенства представляет собой произведение двух квадратов. Квадрат любого действительного числа — неотрицательная величина, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$ и $(x + 7)^2 \ge 0$. Их произведение также всегда неотрицательно: $(x - 3)^2(x + 7)^2 \ge 0$. Неравенство требует, чтобы это произведение было строго меньше нуля, что невозможно ни при каких значениях $x$. Следовательно, неравенство не имеет решений. Множество решений — $\emptyset$. Это неравенство равносильно исходному.

Таким образом, равносильными исходному неравенству являются неравенства, у которых множество решений — пустое множество. Это неравенства а) и г).

Ответ: а), г).