Номер 2.145, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.145. Вычислите:

а) $ \lg^2 100 $;

б) $ (\log_5 25)^3 $;

в) $ (\log_4 \frac{1}{16})^3 $;

г) $ (\log_2 \sqrt{2})^4 $.

а) $\lg^2 100$

Выражение $\lg^2 100$ является сокращенной записью для $(\lg 100)^2$. Сначала вычислим значение десятичного логарифма (логарифма по основанию 10).

Десятичный логарифм $\lg 100$ — это степень, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить 100. Так как $10^2 = 100$, то:

$\lg 100 = \log_{10} 100 = 2$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(\lg 100)^2 = 2^2 = 4$

Ответ: 4

б) $\log_5^3 25$

Данное выражение означает $(\log_5 25)^3$. Сначала вычислим значение логарифма по основанию 5.

Логарифм $\log_5 25$ — это степень, в которую нужно возвести число 5, чтобы получить 25. Так как $5^2 = 25$, то:

$\log_5 25 = 2$

Теперь возведем полученный результат в куб:

$(\log_5 25)^3 = 2^3 = 8$

Ответ: 8

в) $\log_4^3 \frac{1}{16}$

Данное выражение означает $(\log_4 \frac{1}{16})^3$. Сначала вычислим значение логарифма по основанию 4.

Логарифм $\log_4 \frac{1}{16}$ — это степень, в которую нужно возвести число 4, чтобы получить $\frac{1}{16}$. Представим $\frac{1}{16}$ как степень числа 4:

$\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$

Следовательно:

$\log_4 \frac{1}{16} = \log_4 4^{-2} = -2$

Теперь возведем полученный результат в куб:

$(\log_4 \frac{1}{16})^3 = (-2)^3 = -8$

Ответ: -8

г) $\log_2^4 \sqrt[4]{2}$

Данное выражение означает $(\log_2 \sqrt[4]{2})^4$. Сначала вычислим значение логарифма по основанию 2.

Логарифм $\log_2 \sqrt[4]{2}$ — это степень, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить $\sqrt[4]{2}$. Представим $\sqrt[4]{2}$ как степень числа 2, используя свойство корня $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $:

$\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}$

Следовательно:

$\log_2 \sqrt[4]{2} = \log_2 2^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}$

Теперь возведем полученный результат в четвертую степень:

$(\log_2 \sqrt[4]{2})^4 = (\frac{1}{4})^4 = \frac{1^4}{4^4} = \frac{1}{256}$

Ответ: $\frac{1}{256}$