Номер 2.143, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.143. Пользуясь определением логарифма, найдите:

а) $ \log_3 27; $

б) $ \log_2 0,25; $

в) $ \log_6 \frac{1}{6}; $

г) $ \lg 10; $

д) $ \log_6 1; $

е) $ \log_5 \sqrt{5}; $

ж) $ \log_7 \sqrt[9]{7}; $

з) $ \log_8 2; $

и) $ \log_{32} \frac{1}{2}; $

к) $ \lg 0,01; $

л) $ \log_{0,5} 8; $

м) $ \log_{\sqrt{7}} 49. $

а) По определению логарифма, $log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$. Найдем такое число $x$, что $3^x = 27$. Поскольку $27 = 3^3$, то $3^x = 3^3$, откуда следует, что $x=3$. Таким образом, $log_3 27 = 3$.
Ответ: 3

б) Найдем такое число $x$, что $2^x = 0,25$. Представим $0,25$ в виде степени числа 2. $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$. Получаем уравнение $2^x = 2^{-2}$, откуда $x = -2$. Таким образом, $log_2 0,25 = -2$.
Ответ: -2

в) Найдем такое число $x$, что $6^x = \frac{1}{6}$. Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем $\frac{1}{6} = 6^{-1}$. Получаем уравнение $6^x = 6^{-1}$, откуда $x = -1$. Таким образом, $log_6 \frac{1}{6} = -1$.
Ответ: -1

г) Десятичный логарифм $lg$ — это логарифм по основанию 10. То есть, $lg 10 = log_{10} 10$. Найдем такое число $x$, что $10^x = 10$. Поскольку $10 = 10^1$, то $x = 1$. Таким образом, $lg 10 = 1$.
Ответ: 1

д) Найдем такое число $x$, что $6^x = 1$. Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то есть $a^0 = 1$. Следовательно, $6^0 = 1$, откуда $x=0$. Таким образом, $log_6 1 = 0$.
Ответ: 0

е) Найдем такое число $x$, что $5^x = \sqrt{5}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. Получаем уравнение $5^x = 5^{\frac{1}{2}}$, откуда $x = \frac{1}{2}$. Таким образом, $log_5 \sqrt{5} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

ж) Найдем такое число $x$, что $7^x = \sqrt[9]{7}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt[9]{7} = 7^{\frac{1}{9}}$. Получаем уравнение $7^x = 7^{\frac{1}{9}}$, откуда $x = \frac{1}{9}$. Таким образом, $log_7 \sqrt[9]{7} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

з) Найдем такое число $x$, что $8^x = 2$. Представим основание 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$. Получаем уравнение $(2^3)^x = 2$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, имеем $2^{3x} = 2^1$. Приравнивая показатели, получаем $3x = 1$, откуда $x = \frac{1}{3}$. Таким образом, $log_8 2 = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

и) Найдем такое число $x$, что $32^x = \frac{1}{2}$. Представим обе части уравнения как степени числа 2. $32 = 2^5$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Получаем уравнение $(2^5)^x = 2^{-1}$, что эквивалентно $2^{5x} = 2^{-1}$. Приравнивая показатели, получаем $5x = -1$, откуда $x = -\frac{1}{5}$. Таким образом, $log_{32} \frac{1}{2} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$

к) $lg 0,01 = log_{10} 0,01$. Найдем такое число $x$, что $10^x = 0,01$. Представим $0,01$ в виде степени числа 10. $0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$. Получаем уравнение $10^x = 10^{-2}$, откуда $x = -2$. Таким образом, $lg 0,01 = -2$.
Ответ: -2

л) Найдем такое число $x$, что $(0,5)^x = 8$. Представим обе части уравнения как степени числа 2. $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $8 = 2^3$. Получаем уравнение $(2^{-1})^x = 2^3$, что эквивалентно $2^{-x} = 2^3$. Приравнивая показатели, получаем $-x = 3$, откуда $x = -3$. Таким образом, $log_{0,5} 8 = -3$.
Ответ: -3

м) Найдем такое число $x$, что $(\sqrt{7})^x = 49$. Представим обе части уравнения как степени числа 7. $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$ и $49 = 7^2$. Получаем уравнение $(7^{\frac{1}{2}})^x = 7^2$, что эквивалентно $7^{\frac{x}{2}} = 7^2$. Приравнивая показатели, получаем $\frac{x}{2} = 2$, откуда $x = 4$. Таким образом, $log_{\sqrt{7}} 49 = 4$.
Ответ: 4