Номер 2.154, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.154. Решите уравнение:

а) $4\sin5x \cos5x = 1$;

б) $\sin2x = 2\sqrt{3} \sin^2 x$.

а) $4\sin5x\cos5x = 1$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Преобразуем левую часть исходного уравнения:

$4\sin5x\cos5x = 2 \cdot (2\sin5x\cos5x)$

Применим формулу синуса двойного угла, где в качестве $\alpha$ выступает $5x$:

$2 \cdot (\sin(2 \cdot 5x)) = 2\sin(10x)$

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$2\sin(10x) = 1$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin(10x) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin(y) = a$ записывается как $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $y = 10x$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение арксинуса: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$10x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения $x$ разделим обе части на 10:

$x = \frac{(-1)^k \pi}{60} + \frac{\pi k}{10}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{10} + \frac{(-1)^k \pi}{60}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin2x = 2\sqrt{3}\sin^2 x$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$ к левой части уравнения:

$2\sin x\cos x = 2\sqrt{3}\sin^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приравняем к нулю:

$2\sin x\cos x - 2\sqrt{3}\sin^2 x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $2\sin x$:

$2\sin x (\cos x - \sqrt{3}\sin x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два независимых уравнения:

1. $2\sin x = 0 \implies \sin x = 0$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x - \sqrt{3}\sin x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставляя в уравнение, получаем $0 - \sqrt{3}(\pm 1) = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\cos x}{\cos x} - \sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} = 0$

$1 - \sqrt{3}\tan x = 0$

$\sqrt{3}\tan x = 1$

$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi n$; $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.