Номер 2.159, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.159. Для функции $f(x) = \operatorname{tg}x$ выберите все верные утверждения:

а) областью определения функции является множество действительных чисел;

б) нулями функции являются числа вида $x = \pi n, n \in \mathbf{Z}$;

в) $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$;

г) на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ функция возрастает;

д) функция является четной;

е) график функции не пересекает ось ординат.

Проанализируем каждое утверждение для функции $f(x) = \tan x$.

а) областью определения функции является множество действительных чисел;

Функция тангенса определяется как $f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти точки не входят в область определения функции. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

б) нулями функции являются числа вида $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$;

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Решим уравнение $\tan x = 0$, или $\frac{\sin x}{\cos x} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$ знаменатель $\cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$, следовательно, они являются нулями функции. Утверждение верно.

Ответ: верно.

в) $f(-\frac{\pi}{4}) = -1$;

Найдем значение функции в точке $x = -\frac{\pi}{4}$. $f(-\frac{\pi}{4}) = \tan(-\frac{\pi}{4})$. Поскольку тангенс — нечетная функция ($\tan(-x) = -\tan x$), то $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -\tan(\frac{\pi}{4})$. Так как $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем $f(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

г) на промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция возрастает;

Для определения монотонности функции найдем ее производную: $f'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ значение $\cos x$ положительно и не равно нулю, поэтому $\cos^2 x > 0$. Следовательно, производная $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ положительна на всем интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это означает, что функция $f(x) = \tan x$ строго возрастает на этом промежутке. Утверждение верно.

Ответ: верно.

д) функция является четной;

Функция является четной, если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Для тангенса мы уже выяснили в пункте в), что $f(-x) = \tan(-x) = -\tan(x) = -f(x)$. Это определение нечетной функции. Так как $f(-x) \neq f(x)$ (кроме точек, где $f(x)=0$), функция не является четной. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

е) график функции не пересекает ось ординат.

График функции пересекает ось ординат (ось OY) в точке, где $x = 0$. Найдем значение функции в этой точке: $f(0) = \tan(0) = 0$. Так как функция определена при $x=0$ и ее значение равно 0, график проходит через точку $(0, 0)$, то есть начало координат. Следовательно, график пересекает ось ординат. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

Таким образом, верными являются утверждения б), в) и г).