Номер вопрос 1, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Выберите неравенства, не имеющие решений:

a) $5^x + 2 < 0;$

б) $(\sqrt{3})^x > 0;$

в) $(\frac{1}{7})^x + 9 \ge 0;$

г) $10^x \le 0.$

а) В неравенстве $5^x + 2 < 0$ левая часть представляет собой сумму показательной функции $5^x$ и числа 2. Область значений показательной функции $y=a^x$ при $a>0$ — это все положительные числа, то есть $y \in (0; +\infty)$. Следовательно, $5^x > 0$ для любого $x$. Тогда $5^x + 2 > 0 + 2$, то есть $5^x + 2 > 2$. Выражение, которое всегда больше 2, не может быть отрицательным. Значит, данное неравенство не имеет решений. Ответ: не имеет решений.

б) Рассмотрим неравенство $(\sqrt{3})^x > 0$. Основание показательной функции $a = \sqrt{3}$ является положительным числом. По определению, любая показательная функция с положительным основанием принимает только строго положительные значения. Таким образом, неравенство $(\sqrt{3})^x > 0$ справедливо для всех действительных значений $x$. Следовательно, неравенство имеет решения. Ответ: имеет решения ($x \in \mathbb{R}$).

в) В неравенстве $(\frac{1}{7})^x + 9 \ge 0$ значение показательной функции $(\frac{1}{7})^x$ всегда строго положительно: $(\frac{1}{7})^x > 0$. Сумма положительного числа $(\frac{1}{7})^x$ и числа 9 всегда будет больше 9, то есть $(\frac{1}{7})^x + 9 > 9$. Любое число, которое больше 9, также больше или равно 0. Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$ и, следовательно, имеет решения. Ответ: имеет решения ($x \in \mathbb{R}$).

г) Область значений показательной функции $y=10^x$ — это множество всех положительных чисел, то есть $10^x > 0$ для любого действительного $x$. Неравенство $10^x \le 0$ требует, чтобы значение функции было отрицательным или равнялось нулю, что противоречит свойству показательной функции. Следовательно, данное неравенство не имеет решений. Ответ: не имеет решений.