Номер вопрос 2, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Равносильны ли неравенства:

a) $5^{3x+2} > 5^{x-7}$ и $3x+2 > x-7$;

б) $0.7^{x^2-6x} < 0.7^{x+3}$ и $x^2-6x < x+3?

а) $5^{3x+2} > 5^{x-7}$ и $3x+2 > x-7$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Рассмотрим первое неравенство: $5^{3x+2} > 5^{x-7}$.

Это показательное неравенство. Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

Следовательно, неравенство $5^{3x+2} > 5^{x-7}$ равносильно неравенству $3x+2 > x-7$.

Поскольку первое неравенство преобразуется в точную копию второго неравенства, их множества решений будут совпадать. Для проверки найдем это множество решений:

$3x - x > -7 - 2$

$2x > -9$

$x > -4.5$

Множество решений обоих неравенств — это интервал $(-4.5; +\infty)$. Так как множества решений совпадают, неравенства равносильны.

Ответ: да, неравенства равносильны.

б) $0,7^{x^2-6x} < 0,7^{x+3}$ и $x^2-6x < x+3$

Рассмотрим первое неравенство: $0,7^{x^2-6x} < 0,7^{x+3}$.

Это показательное неравенство. Так как основание степени $0,7$ удовлетворяет условию $0 < 0,7 < 1$, показательная функция $y=0,7^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

Следовательно, неравенство $0,7^{x^2-6x} < 0,7^{x+3}$ равносильно неравенству $x^2-6x > x+3$.

Второе данное в условии неравенство — это $x^2-6x < x+3$.

Сравним неравенство, равносильное первому ($x^2-6x > x+3$), со вторым данным неравенством ($x^2-6x < x+3$). Очевидно, что знаки в этих неравенствах противоположны. Чтобы показать, что их множества решений различны, решим оба неравенства.

Оба неравенства сводятся к анализу знака квадратного трехчлена $x^2-7x-3$. Найдем корни уравнения $x^2-7x-3=0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 49 + 12 = 61$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2}$

Решением неравенства $x^2-7x-3 > 0$ (которое равносильно первому исходному неравенству) является объединение интервалов $(-\infty; \frac{7 - \sqrt{61}}{2}) \cup (\frac{7 + \sqrt{61}}{2}; +\infty)$.

Решением неравенства $x^2-7x-3 < 0$ (которое является вторым исходным неравенством) является интервал $(\frac{7 - \sqrt{61}}{2}; \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$.

Множества решений не совпадают. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными.

Ответ: нет, неравенства не равносильны.