Номер 2.167, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.167. При каких значениях аргумента график функции $y = 8^{4-x}$ расположен выше прямой $y = 2\sqrt{2}$?

Для того чтобы найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = 8^{4-x}$ расположен выше прямой $y = 2\sqrt{2}$, необходимо решить следующее неравенство:

$8^{4-x} > 2\sqrt{2}$

Это показательное неравенство. Чтобы его решить, приведем обе части к одному основанию. Наиболее удобным основанием является 2.

1. Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:

$8^{4-x} = (2^3)^{4-x} = 2^{3(4-x)} = 2^{12 - 3x}$

2. Преобразуем правую часть неравенства, используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\sqrt{a} = a^{1/2}$:

$2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

3. Подставим преобразованные выражения обратно в неравенство:

$2^{12 - 3x} > 2^{\frac{3}{2}}$

4. Так как основание степени $2$ больше 1 ($2 > 1$), показательная функция с этим основанием является возрастающей. Это значит, что мы можем перейти от неравенства для степеней к неравенству для их показателей, сохраняя знак неравенства:

$12 - 3x > \frac{3}{2}$

5. Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$-3x > \frac{3}{2} - 12$

Вычислим правую часть: $12 = \frac{24}{2}$, поэтому $\frac{3}{2} - \frac{24}{2} = -\frac{21}{2}$.

$-3x > -\frac{21}{2}$

Разделим обе части неравенства на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-\frac{21}{2}}{-3}$

$x < \frac{21}{2 \cdot 3}$

$x < \frac{7}{2}$

или в десятичном виде:

$x < 3.5$

Следовательно, график функции расположен выше заданной прямой при всех значениях $x$ из интервала $(-\infty; 3.5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3.5)$