Номер 2.169, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.169. Для функции $f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{3x-7}-0,04$ найдите все значения ар- гумента, при которых $f(x) < 0$.

Для того чтобы найти все значения аргумента $x$, при которых $f(x) < 0$, необходимо решить неравенство:

$f(x) < 0$

$(\frac{1}{5})^{3x-7} - 0,04 < 0$

Перенесем числовой член в правую часть неравенства:

$(\frac{1}{5})^{3x-7} < 0,04$

Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. Представим десятичную дробь $0,04$ в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$.

Сначала преобразуем $0,04$ в обыкновенную дробь:

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

Теперь представим $\frac{1}{25}$ как степень числа $\frac{1}{5}$:

$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = (\frac{1}{5})^2$

Подставим полученное выражение в неравенство:

$(\frac{1}{5})^{3x-7} < (\frac{1}{5})^2$

Так как основание степени $a = \frac{1}{5}$ находится в интервале $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$3x - 7 > 2$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$3x > 2 + 7$

$3x > 9$

$x > \frac{9}{3}$

$x > 3$

Следовательно, функция $f(x)$ принимает отрицательные значения при всех $x$ из интервала $(3; +\infty)$.

Ответ: $(3; +\infty)$.