Номер 2.170, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.170. Найдите решение неравенства, используя свойства степеней и свойства показательной функции:

а) $3^{x^2 - 4} \leq 243;$

б) $(0,3)^{x^2 - 2} < 0,09;$

в) $(\frac{2}{13})^{x^2 - 1} \geq 1;$

г) $(\frac{1}{9})^{3 - 0,5x^2} > 27;$

д) $2^{x^2 + 5x} \leq (\sqrt{2})^{12};$

е) $(0,2)^{x^2 - 4x + 5} \leq 0,04.$

а) Исходное неравенство: $3^{x^2-4} \le 243$.
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3. Так как $243 = 3^5$, неравенство можно переписать в виде:$3^{x^2-4} \le 3^5$.
Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей степени, сохранив знак неравенства:$x^2-4 \le 5$.
Перенесем все члены в левую часть:$x^2 - 9 \le 0$.
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:$(x-3)(x+3) \le 0$.
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-3)(x+3)=0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Так как неравенство имеет вид $f(x) \le 0$ и ветви параболы $y=x^2-9$ направлены вверх, решение находится между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решением является промежуток $[-3, 3]$.
Ответ: $x \in [-3, 3]$.

б) Исходное неравенство: $(0,3)^{x^2-2} < 0,09$.
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 0,3. Так как $0,09 = (0,3)^2$, неравенство принимает вид:$(0,3)^{x^2-2} < (0,3)^2$.
Поскольку основание степени $0,3 < 1$, показательная функция $y=(0,3)^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:$x^2-2 > 2$.
Перенесем все члены в левую часть:$x^2 - 4 > 0$.
Разложим левую часть на множители:$(x-2)(x+2) > 0$.
Решим квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы $y=x^2-4$ направлены вверх, решение находится вне интервала между корнями.
Таким образом, решением является объединение интервалов $(-\infty, -2)$ и $(2, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

в) Исходное неравенство: $(\frac{2}{13})^{x^2-1} \ge 1$.
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{2}{13}$. Так как любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1, то $1 = (\frac{2}{13})^0$. Неравенство можно переписать как:$(\frac{2}{13})^{x^2-1} \ge (\frac{2}{13})^0$.
Основание степени $\frac{2}{13} < 1$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:$x^2-1 \le 0$.
Разложим левую часть на множители:$(x-1)(x+1) \le 0$.
Корни соответствующего уравнения равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы $y=x^2-1$ направлены вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями, включая их.
Таким образом, решением является промежуток $[-1, 1]$.
Ответ: $x \in [-1, 1]$.

г) Исходное неравенство: $(\frac{1}{9})^{3-0,5x^2} > 27$.
Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к 3.$\frac{1}{9} = 3^{-2}$ и $27 = 3^3$.
Подставим эти значения в неравенство:$(3^{-2})^{3-0,5x^2} > 3^3$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:$3^{-2(3-0,5x^2)} > 3^3$.
$3^{-6+x^2} > 3^3$.
Поскольку основание $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:$x^2-6 > 3$.
$x^2 - 9 > 0$.
Разложим на множители:$(x-3)(x+3) > 0$.
Корни уравнения $(x-3)(x+3)=0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы $y=x^2-9$ направлены вверх, решение находится вне интервала между корнями.
Таким образом, решением является объединение интервалов $(-\infty, -3)$ и $(3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

д) Исходное неравенство: $2^{x^2+5x} \le (\sqrt{2})^{12}$.
Приведем правую часть к основанию 2.$(\sqrt{2})^{12} = (2^{1/2})^{12} = 2^{(1/2) \cdot 12} = 2^6$.
Неравенство принимает вид:$2^{x^2+5x} \le 2^6$.
Так как основание $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, и мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:$x^2+5x \le 6$.
$x^2+5x-6 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2+5x-6=0$ с помощью теоремы Виета: $x_1+x_2=-5$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.
Неравенство можно записать в виде $(x-1)(x+6) \le 0$. Ветви параболы $y=x^2+5x-6$ направлены вверх, поэтому решение находится между корнями, включая их.
Таким образом, решением является промежуток $[-6, 1]$.
Ответ: $x \in [-6, 1]$.

е) Исходное неравенство: $(0,2)^{x^2-4x+5} \le 0,04$.
Приведем правую часть к основанию 0,2.$0,04 = (0,2)^2$.
Неравенство принимает вид:$(0,2)^{x^2-4x+5} \le (0,2)^2$.
Поскольку основание $0,2 < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:$x^2-4x+5 \ge 2$.
$x^2-4x+3 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2-4x+3=0$. По теореме Виета: $x_1+x_2=4$ и $x_1 \cdot x_2=3$. Корни равны $x_1=1$ и $x_2=3$.
Неравенство можно записать в виде $(x-1)(x-3) \ge 0$. Ветви параболы $y=x^2-4x+3$ направлены вверх, поэтому решение находится вне интервала между корнями, включая их.
Таким образом, решением является объединение интервалов $(-\infty, 1]$ и $[3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.