Номер 2.177, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.177. Определите вид неравенства и решите его:

a) $2^{x+3} - 3 \cdot 2^{x+1} + 2^x > 12;$

б) $9 \cdot 3^{2x+2} + 3 \cdot 3^{2x+1} - 9^x \le 89.$

Данные неравенства являются показательными, так как переменная $x$ находится в показателе степени. Для их решения мы приведем все степенные выражения к одному основанию и вынесем общий множитель за скобки.

a) $2^{x+3} - 3 \cdot 2^{x+1} + 2^x > 12$

Это показательное неравенство, которое можно свести к линейному относительно $2^x$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^x \cdot 2^3 - 3 \cdot (2^x \cdot 2^1) + 2^x > 12$

Выполним вычисления:

$8 \cdot 2^x - 6 \cdot 2^x + 2^x > 12$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(8 - 6 + 1) > 12$

$3 \cdot 2^x > 12$

Разделим обе части неравенства на 3:

$2^x > 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.

$2^x > 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) $9 \cdot 3^{2x+2} + 3 \cdot 3^{2x+1} - 9^x \le 89$

Это показательное неравенство. Приведем все члены к одному основанию 3. Для этого используем равенства $9 = 3^2$ и $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$9 \cdot (3^{2x} \cdot 3^2) + 3 \cdot (3^{2x} \cdot 3^1) - 3^{2x} \le 89$

Выполним вычисления:

$81 \cdot 3^{2x} + 9 \cdot 3^{2x} - 1 \cdot 3^{2x} \le 89$

Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:

$3^{2x}(81 + 9 - 1) \le 89$

$89 \cdot 3^{2x} \le 89$

Разделим обе части неравенства на 89:

$3^{2x} \le 1$

Представим число 1 в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.

$3^{2x} \le 3^0$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x \le 0$

Разделим обе части на 2:

$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.