Номер 2.180, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.180. Найдите, при каких значениях аргумента график функции $y = 3^{x-1}$ расположен не ниже графика функции $y = 2^{x-1}$.

Условие, что график функции $y = 3^{x-1}$ расположен не ниже графика функции $y = 2^{x-1}$, означает, что значения первой функции должны быть больше или равны значениям второй функции для одних и тех же аргументов $x$. Таким образом, нам необходимо решить следующее неравенство:

$3^{x-1} \geq 2^{x-1}$

Для решения этого показательного неравенства, разделим обе его части на $2^{x-1}$. Так как значение показательной функции $2^{x-1}$ всегда положительно при любом $x$, знак неравенства при делении не изменится:

$\frac{3^{x-1}}{2^{x-1}} \geq 1$

Используя свойство степеней $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$, преобразуем левую часть неравенства:

$(\frac{3}{2})^{x-1} \geq 1$

Чтобы решить это неравенство, представим число 1 в виде степени с тем же основанием, что и в левой части, то есть с основанием $\frac{3}{2}$. Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, поэтому:

$(\frac{3}{2})^{x-1} \geq (\frac{3}{2})^0$

Теперь мы можем сравнить показатели степеней. Так как основание степени $\frac{3}{2} = 1.5$ больше единицы ($1.5 > 1$), то показательная функция с таким основанием является возрастающей. Это означает, что для сохранения неравенства, показатели степеней должны находиться в том же соотношении. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив его знак:

$x-1 \geq 0$

Решая это простое линейное неравенство, получаем:

$x \geq 1$

Таким образом, график функции $y = 3^{x-1}$ расположен не ниже графика функции $y = 2^{x-1}$ при всех значениях аргумента $x$, удовлетворяющих условию $x \geq 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.