Номер 2.185, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.185. Найдите область определения функции $y = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{x + \frac{1}{2} - \frac{2}{x}} - \frac{1}{\sqrt{27}}}$.

Область определения функции $y = \sqrt{(\frac{1}{3})^{x+\frac{1}{2}-\frac{2}{x}} - \frac{1}{\sqrt{27}}}$ находится из двух условий. Во-первых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Во-вторых, знаменатель $x$ в показателе степени не должен быть равен нулю. Это приводит к системе:
$\begin{cases} (\frac{1}{3})^{x+\frac{1}{2}-\frac{2}{x}} - \frac{1}{\sqrt{27}} \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство. Преобразуем его, перенеся второе слагаемое в правую часть и представив его в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$:
$(\frac{1}{3})^{x+\frac{1}{2}-\frac{2}{x}} \ge \frac{1}{\sqrt{27}}$
$\frac{1}{\sqrt{27}} = \frac{1}{\sqrt{3^3}} = \frac{1}{3^{3/2}} = (\frac{1}{3})^{3/2}$
Следовательно, неравенство принимает вид: $(\frac{1}{3})^{x+\frac{1}{2}-\frac{2}{x}} \ge (\frac{1}{3})^{3/2}$.

Поскольку основание степени $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:
$x + \frac{1}{2} - \frac{2}{x} \le \frac{3}{2}$

Упростим полученное рациональное неравенство, перенеся все члены в левую часть и приведя к общему знаменателю:
$x + \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - \frac{2}{x} \le 0$
$x - 1 - \frac{2}{x} \le 0$
$\frac{x^2 - x - 2}{x} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Нуль знаменателя: $x_3 = 0$.

Отметим точки $-1, 0, 2$ на числовой оси. Точки $-1$ и $2$ включаются в решение (неравенство нестрогое), а точка $0$ исключается (нуль знаменателя). Эти точки разбивают ось на четыре интервала. Определим знаки выражения $\frac{(x+1)(x-2)}{x}$ на каждом из них:
- при $x \in (-\infty, -1]$ выражение отрицательно ($\le 0$);
- при $x \in [-1, 0)$ выражение положительно ($> 0$);
- при $x \in (0, 2]$ выражение отрицательно ($\le 0$);
- при $x \in [2, +\infty)$ выражение положительно ($> 0$).

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Объединяя их, получаем решение $x \in (-\infty, -1] \cup (0, 2]$. Это множество удовлетворяет и второму условию системы ($x \ne 0$), следовательно, является областью определения функции.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup (0, 2]$.