Номер 2.187, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.187. Решите неравенство, используя метод замены переменной:

a) $\frac{1}{2^x + 1} \ge \frac{1}{2 - 2^x}$;

б) $\frac{4^x - 2^{x-1} - 4,5}{2^x - 2} \le 1.

а) Исходное неравенство: $ \frac{1}{2^x + 1} \ge \frac{1}{2 - 2^x} $.
Для решения используем метод замены переменной. Пусть $ t = 2^x $. Так как показательная функция $ y = a^x $ при $ a > 0, a \ne 1 $ принимает только положительные значения, то $ t > 0 $.
После замены неравенство принимает вид:
$ \frac{1}{t + 1} \ge \frac{1}{2 - t} $
Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $ t $. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$ t + 1 \ne 0 \implies t \ne -1 $. Это условие выполняется, так как $ t > 0 $.
$ 2 - t \ne 0 \implies t \ne 2 $.
Таким образом, ОДЗ для $ t $: $ t > 0 $ и $ t \ne 2 $.
Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем их к общему знаменателю:
$ \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{2 - t} \ge 0 $
$ \frac{(2 - t) - (t + 1)}{(t + 1)(2 - t)} \ge 0 $
$ \frac{2 - t - t - 1}{(t + 1)(2 - t)} \ge 0 $
$ \frac{1 - 2t}{(t + 1)(2 - t)} \ge 0 $
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Для удобства преобразуем выражение так, чтобы коэффициенты при $ t $ в каждом множителе были положительными:
$ \frac{-(2t - 1)}{(t + 1)(-(t - 2))} \ge 0 $
$ \frac{2t - 1}{(t + 1)(t - 2)} \ge 0 $
Находим корни числителя и знаменателя: $ 2t - 1 = 0 \implies t = 1/2 $; $ t + 1 = 0 \implies t = -1 $; $ t - 2 = 0 \implies t = 2 $.
Отмечаем эти точки на числовой оси и определяем знаки выражения в каждом интервале. Неравенство $ \ge 0 $ выполняется при $ t \in (-1, 1/2] \cup (2, +\infty) $.
Учитывая ОДЗ ($ t > 0 $), получаем решение для $ t $: $ t \in (0, 1/2] \cup (2, +\infty) $.
Это решение можно разбить на два случая:
1) $ 0 < t \le 1/2 $
2) $ t > 2 $
Производим обратную замену $ t = 2^x $:
1) $ 0 < 2^x \le \frac{1}{2} $. Неравенство $ 2^x > 0 $ истинно для любого $ x $. Решаем $ 2^x \le \frac{1}{2} $:
$ 2^x \le 2^{-1} $
Так как основание $ 2 > 1 $, функция $ y=2^x $ возрастающая, поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:
$ x \le -1 $.
2) $ 2^x > 2 $
$ 2^x > 2^1 $
Аналогично, так как основание $ 2 > 1 $:
$ x > 1 $.
Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $ x \in (-\infty, -1] \cup (1, +\infty) $.

б) Исходное неравенство: $ \frac{4^x - 2^{x-1} - 4,5}{2^x - 2} \le 1 $.
Сначала преобразуем степени к одному основанию 2: $ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 $ и $ 2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x $. Также представим $ 4,5 $ как $ \frac{9}{2} $.
Произведем замену переменной. Пусть $ t = 2^x $. Так как $ 2^x > 0 $ для любого $ x $, то $ t > 0 $.
Неравенство в новых переменных:
$ \frac{t^2 - \frac{1}{2}t - \frac{9}{2}}{t - 2} \le 1 $
ОДЗ для $ t $: $ t - 2 \ne 0 \implies t \ne 2 $. С учетом $t>0$, ОДЗ: $ t \in (0, 2) \cup (2, +\infty) $.
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{t^2 - \frac{1}{2}t - \frac{9}{2}}{t - 2} - 1 \le 0 $
$ \frac{t^2 - \frac{1}{2}t - \frac{9}{2} - (t - 2)}{t - 2} \le 0 $
$ \frac{t^2 - \frac{3}{2}t - \frac{5}{2}}{t - 2} \le 0 $
Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим числитель на 2 (это не изменит знак дроби):
$ \frac{2t^2 - 3t - 5}{t - 2} \le 0 $
Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $ 2t^2 - 3t - 5 = 0 $.
Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $.
Корни: $ t_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{4} = -1 $; $ t_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2,5 $.
Теперь неравенство можно записать в виде:
$ \frac{2(t + 1)(t - 2,5)}{t - 2} \le 0 $
Решаем методом интервалов. Корни (точки смены знака): $ t = -1 $, $ t = 2,5 $, $ t = 2 $.
Располагаем точки на числовой оси и определяем знаки. Неравенство $ \le 0 $ выполняется при $ t \in (-\infty, -1] \cup (2, 2,5] $.
Учитываем ОДЗ ($ t > 0 $). Пересечение множеств $ ((-\infty, -1] \cup (2, 2,5]) $ и $ (0, +\infty) $ дает нам решение для $ t $: $ t \in (2, 2,5] $.
Выполним обратную замену $ t = 2^x $:
$ 2 < 2^x \le 2,5 $
$ 2^1 < 2^x \le \frac{5}{2} $
Прологарифмируем двойное неравенство по основанию 2. Так как основание $ 2 > 1 $, функция логарифма возрастающая, и знаки неравенства сохраняются:
$ \log_2(2) < \log_2(2^x) \le \log_2(2,5) $
$ 1 < x \le \log_2(2,5) $
Ответ: $ x \in (1, \log_2(2,5)] $.