Номер 2.190, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.190*. Решите неравенство:

a) $3^{|x|+2} > 27;$

б) $0,6^{|x - 3|} \geq \sqrt{0,6};$

в) $(\frac{1}{2})^{|x^2 - 5|} \leq \frac{1}{16}.$

а) $3^{|x| + 2} > 27$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 3. Число 27 можно представить как $3^3$.

Получаем неравенство:

$3^{|x| + 2} > 3^3$

Так как основание степени $a = 3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак исходного неравенства:

$|x| + 2 > 3$

Вычтем 2 из обеих частей неравенства:

$|x| > 1$

Неравенство с модулем $|x| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $x > a$ или $x < -a$. В нашем случае:

$x > 1$ или $x < -1$

Решение можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

б) $0,6^{|x - 3|} \ge \sqrt{0,6}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 0,6. Правую часть можно представить как $\sqrt{0,6} = 0,6^{1/2}$.

Получаем неравенство:

$0,6^{|x - 3|} \ge 0,6^{1/2}$

Так как основание степени $a = 0,6$ меньше единицы, но больше нуля ($0 < 0,6 < 1$), показательная функция $y=0,6^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак исходного неравенства необходимо изменить на противоположный:

$|x - 3| \le \frac{1}{2}$

Неравенство с модулем $|u| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le u \le a$. В нашем случае:

$-\frac{1}{2} \le x - 3 \le \frac{1}{2}$

Прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства, чтобы найти $x$:

$3 - \frac{1}{2} \le x \le 3 + \frac{1}{2}$

$\frac{6}{2} - \frac{1}{2} \le x \le \frac{6}{2} + \frac{1}{2}$

$\frac{5}{2} \le x \le \frac{7}{2}$

Это можно записать в виде десятичных дробей: $2,5 \le x \le 3,5$.

Ответ: $[2,5; 3,5]$.

в) $(\frac{1}{2})^{|x^2 - 5|} \le \frac{1}{16}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{2}$. Число $\frac{1}{16}$ можно представить как $(\frac{1}{2})^4$, так как $2^4 = 16$.

Получаем неравенство:

$(\frac{1}{2})^{|x^2 - 5|} \le (\frac{1}{2})^4$

Так как основание степени $a = \frac{1}{2}$ меньше единицы, но больше нуля ($0 < \frac{1}{2} < 1$), показательная функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак исходного неравенства необходимо изменить на противоположный:

$|x^2 - 5| \ge 4$

Неравенство с модулем $|u| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $u \ge a$ или $u \le -a$. В нашем случае:

$x^2 - 5 \ge 4$ или $x^2 - 5 \le -4$

Решим каждое из этих неравенств по отдельности.

1) $x^2 - 5 \ge 4$

$x^2 \ge 9$

Это неравенство выполняется, когда $x \le -3$ или $x \ge 3$. Решение: $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

2) $x^2 - 5 \le -4$

$x^2 \le 1$

Это неравенство выполняется, когда $-1 \le x \le 1$. Решение: $[-1; 1]$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в пунктах 1 и 2.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [-1; 1] \cup [3; \infty)$.