Номер 2.189, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.189. Разложите левую часть неравенства $3 \cdot 2^x - 6^x + 3^x \ge 3$ на множители и решите его.

Для решения неравенства $3 \cdot 2^x - 6^x + 3^x \ge 3$ сначала разложим его левую часть на множители. Для этого перенесем все члены в одну сторону:

$3 \cdot 2^x - 6^x + 3^x - 3 \ge 0$

Воспользуемся свойством степеней $a^x \cdot b^x = (ab)^x$ и представим $6^x$ как $2^x \cdot 3^x$. Затем сгруппируем слагаемые:

$(3 \cdot 2^x - 2^x \cdot 3^x) + (3^x - 3) \ge 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $2^x$, а из второй $-1$, чтобы получить одинаковый множитель в скобках:

$2^x(3 - 3^x) - 1 \cdot (3 - 3^x) \ge 0$

Теперь вынесем общий множитель $(3 - 3^x)$ за скобки:

$(2^x - 1)(3 - 3^x) \ge 0$

Мы разложили левую часть на множители и получили неравенство, которое можно решить, рассмотрев знаки множителей. Произведение двух выражений неотрицательно, если оба выражения имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны).

Случай 1: Оба множителя неотрицательны.

$\begin{cases} 2^x - 1 \ge 0 \\ 3 - 3^x \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases} 2^x \ge 1 \\ 3^x \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x \ge 2^0 \\ 3^x \le 3^1 \end{cases}$

Так как основания степеней $2 > 1$ и $3 > 1$, показательные функции являются возрастающими. Следовательно, мы можем перейти к неравенствам для показателей степеней, сохраняя знаки неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 1 \end{cases}$

Решением этой системы является отрезок $x \in [0, 1]$.

Случай 2: Оба множителя неположительны.

$\begin{cases} 2^x - 1 \le 0 \\ 3 - 3^x \le 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} 2^x \le 1 \\ 3^x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x \le 2^0 \\ 3^x \ge 3^1 \end{cases}$

Переходя к показателям, получаем:

$\begin{cases} x \le 0 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно меньше или равно нулю и больше или равно единице.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что решение исходного неравенства совпадает с решением из первого случая.

Ответ: $x \in [0, 1]$.