Номер 2.182, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.182. Приведите неравенство к однородному и решите его:

а) $36^x - 2 \cdot 18^x - 8 \cdot 9^x \geq 0;$

б) $4^x - 2 \cdot 5^{2x} + 10^x > 0;$

В) $3^{2x+1} - 5 \cdot 6^x + 2^{2x+1} \leq 0.$

а) $36^x - 2 \cdot 18^x - 8 \cdot 9^x \ge 0$

Данное неравенство является однородным относительно показательных функций. Чтобы его решить, приведем его к квадратному неравенству. Разделим обе части неравенства на $9^x$. Так как $9^x > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не изменится:

$\frac{36^x}{9^x} - 2 \cdot \frac{18^x}{9^x} - 8 \cdot \frac{9^x}{9^x} \ge 0$

$(\frac{36}{9})^x - 2 \cdot (\frac{18}{9})^x - 8 \ge 0$

$4^x - 2 \cdot 2^x - 8 \ge 0$

$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 \ge 0$

Сделаем замену $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 2t - 8 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 2t - 8=0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $t_1 = -2$ и $t_2 = 4$.

Неравенство можно записать в виде $(t - 4)(t + 2) \ge 0$.

Решением этого неравенства является совокупность $t \le -2$ или $t \ge 4$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge 4$.

Вернемся к переменной $x$:

$2^x \ge 4$

$2^x \ge 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x \ge 2$

Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

б) $4^x - 2 \cdot 5^{2x} + 10^x > 0$

Перепишем неравенство, приведя степени к основаниям $2$ и $5$:

$(2^2)^x - 2 \cdot (5^2)^x + (2 \cdot 5)^x > 0$

$(2^x)^2 + 2^x \cdot 5^x - 2 \cdot (5^x)^2 > 0$

Это однородное неравенство второй степени относительно $2^x$ и $5^x$. Разделим обе части на $(5^x)^2$, которое всегда положительно:

$\frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} + \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 2 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} > 0$

$(\frac{2}{5})^{2x} + (\frac{2}{5})^x - 2 > 0$

Сделаем замену $t = (\frac{2}{5})^x$. Так как $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство $t^2 + t - 2 > 0$.

Корни уравнения $t^2 + t - 2 = 0$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Неравенство можно записать в виде $(t - 1)(t + 2) > 0$.

Решением этого неравенства является совокупность $t < -2$ или $t > 1$.

Учитывая, что $t > 0$, получаем $t > 1$.

Возвращаемся к замене:

$(\frac{2}{5})^x > 1$

$(\frac{2}{5})^x > (\frac{2}{5})^0$

Так как основание степени $\frac{2}{5} < 1$, функция $y=(\frac{2}{5})^x$ убывающая, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

в) $3^{2x+1} - 5 \cdot 6^x + 2^{2x+1} \le 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$3 \cdot 3^{2x} - 5 \cdot (2 \cdot 3)^x + 2 \cdot 2^{2x} \le 0$

$3 \cdot (3^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot (2^x)^2 \le 0$

Это однородное неравенство второй степени относительно $3^x$ и $2^x$. Разделим обе части на $(2^x)^2$, которое всегда положительно:

$3 \cdot \frac{(3^x)^2}{(2^x)^2} - 5 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{(2^x)^2} + 2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} \le 0$

$3 \cdot (\frac{3}{2})^{2x} - 5 \cdot (\frac{3}{2})^x + 2 \le 0$

Сделаем замену $t = (\frac{3}{2})^x$. Так как $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство $3t^2 - 5t + 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 - 5t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни $t_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{6}$, то есть $t_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $t_2 = \frac{6}{6} = 1$.

Так как ветви параболы $y = 3t^2 - 5t + 2$ направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $\frac{2}{3} \le t \le 1$.

Это решение удовлетворяет условию $t>0$.

Возвращаемся к замене:

$\frac{2}{3} \le (\frac{3}{2})^x \le 1$

Представим концы интервала в виде степени с основанием $\frac{3}{2}$:

$(\frac{3}{2})^{-1} \le (\frac{3}{2})^x \le (\frac{3}{2})^0$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, функция $y=(\frac{3}{2})^x$ возрастающая, поэтому при переходе к показателям знаки неравенства сохраняются:

$-1 \le x \le 0$

Ответ: $x \in [-1, 0]$.