Номер 2.183, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.183. Решите неравенство $2^x \le 3 - x$, используя свойства функций.

Для решения данного неравенства $2^x \le 3 - x$ воспользуемся методом анализа функций. Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям неравенства:

$f(x) = 2^x$

$g(x) = 3 - x$

Неравенство принимает вид $f(x) \le g(x)$.

Исследуем свойства этих функций:

1. Функция $f(x) = 2^x$ — это показательная функция. Поскольку основание степени $2 > 1$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на множестве всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.

2. Функция $g(x) = 3 - x$ — это линейная функция. Ее угловой коэффициент равен $-1$ (отрицательное число), следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Найдем точку пересечения графиков функций:

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$2^x = 3 - x$

Решим это уравнение методом подбора. Проверим целые значения $x$.

При $x = 1$ получаем:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $3 - 1 = 2$.

Поскольку $2 = 2$, то $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Вернемся к неравенству:

Мы ищем значения $x$, при которых $f(x) \le g(x)$. Мы уже знаем, что равенство $f(x) = g(x)$ достигается при $x=1$.

• При $x < 1$, так как $f(x)$ возрастает, то $f(x) < f(1)$. Так как $g(x)$ убывает, то $g(x) > g(1)$. Поскольку $f(1) = g(1)$, получаем, что для всех $x < 1$ выполняется $f(x) < g(x)$.
• При $x > 1$, так как $f(x)$ возрастает, то $f(x) > f(1)$. Так как $g(x)$ убывает, то $g(x) < g(1)$. Поскольку $f(1) = g(1)$, получаем, что для всех $x > 1$ выполняется $f(x) > g(x)$.

Таким образом, неравенство $f(x) \le g(x)$ выполняется, когда $x < 1$ (строгое неравенство) и когда $x=1$ (равенство). Объединяя эти случаи, получаем, что решение неравенства — это все $x$, удовлетворяющие условию $x \le 1$.

Ответ: $(-\infty; 1]$.