Номер 2.186, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.186. Решите неравенство:

a) $5^x + \frac{25}{5^x} < 26;$

б) $6^x + 6^{1-x} \le 7.$

а) $5^x + \frac{25}{5^x} < 26$

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Перепишем неравенство с новой переменной:

$t + \frac{25}{t} < 26$

Поскольку $t > 0$, умножим обе части неравенства на $t$, сохранив знак неравенства:

$t^2 + 25 < 26t$

$t^2 - 26t + 25 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 26t + 25 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 26, а произведение 25, откуда корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 25$.

Графиком функции $f(t) = t^2 - 26t + 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $f(t) < 0$ выполняется для значений $t$, лежащих между корнями:

$1 < t < 25$

Это решение удовлетворяет первоначальному условию $t > 0$.

Выполним обратную замену $t = 5^x$:

$1 < 5^x < 25$

Представим 1 и 25 как степени с основанием 5: $5^0 < 5^x < 5^2$. Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки: $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

б) $6^x + 6^{1-x} \le 7$

Преобразуем неравенство, используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$6^x + \frac{6}{6^x} \le 7$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 6^x$. Так как $y=6^x$ - показательная функция, ее значения всегда положительны, то есть $y > 0$.

Неравенство примет вид:

$y + \frac{6}{y} \le 7$

Умножим обе части на $y$. Так как $y > 0$, знак неравенства не меняется:

$y^2 + 6 \le 7y$

$y^2 - 7y + 6 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $y^2 - 7y + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение 6, откуда корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 6$.

Графиком функции $g(y) = y^2 - 7y + 6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $g(y) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни:

$1 \le y \le 6$

Данное решение удовлетворяет условию $y > 0$.

Произведем обратную замену $y = 6^x$:

$1 \le 6^x \le 6$

Представим 1 и 6 как степени с основанием 6: $6^0 \le 6^x \le 6^1$. Основание степени $6 > 1$, поэтому показательная функция возрастает. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки: $0 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [0; 1]$.