Номер 2.195, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.195. Для функции $f(x) = 2^{x-1} - \left(\frac{1}{16}\right)^x$ найдите все значения аргумента, при которых верно неравенство $f(x) > 0$.

Для решения задачи необходимо найти все значения аргумента $x$, при которых выполняется неравенство $f(x) > 0$.

Запишем неравенство, подставив в него выражение для функции $f(x)$:

$2^{2x-1} - \left(\frac{1}{16}\right)^x > 0$

Перенесем второй член в правую часть неравенства:

$2^{2x-1} > \left(\frac{1}{16}\right)^x$

Чтобы решить это показательное неравенство, приведем обе части к одному основанию. Основание левой части равно 2. Представим правую часть также в виде степени с основанием 2.

Сначала представим число $\frac{1}{16}$ как степень двойки:

$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$

Теперь подставим это в правую часть неравенства:

$\left(\frac{1}{16}\right)^x = (2^{-4})^x = 2^{-4x}$

Неравенство принимает вид:

$2^{2x-1} > 2^{-4x}$

Так как основание степени $a = 2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция с этим основанием является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение показателя степени. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$2x - 1 > -4x$

Теперь решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x + 4x > 1$

$6x > 1$

Разделим обе части неравенства на 6:

$x > \frac{1}{6}$

Следовательно, неравенство $f(x) > 0$ выполняется при всех значениях $x$, больших $\frac{1}{6}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{6}; +\infty)$.