Номер 2.201, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.201. Решите неравенство:

a) $2^x + 2^{x+1} > 6;$

б) $3^{2x-1} + 9^{x+1} \leq 28;$

В) $(\frac{1}{2})^{-x} + 2^{3+x} \geq 9;$

Г) $3^{x+2} - 2 \cdot 3^{x+1} + 3^x < 12.$

а) $2^x + 2^{x+1} > 6$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать второе слагаемое: $2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$.

Подставим это в неравенство:

$2^x + 2 \cdot 2^x > 6$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + 2) > 6$

Упростим выражение в скобках:

$3 \cdot 2^x > 6$

Разделим обе части неравенства на 3:

$2^x > 2$

Представим 2 как $2^1$:

$2^x > 2^1$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому для показателей степеней неравенство сохраняет свой знак:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

б) $3^{2x-1} + 9^{x+1} \le 28$

Приведем все степени к одному основанию 3. Заметим, что $9 = 3^2$.

Тогда $9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2}$.

Неравенство принимает вид:

$3^{2x-1} + 3^{2x+2} \le 28$

Используем свойства степеней: $3^{2x-1} = 3^{2x} \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^{2x}$ и $3^{2x+2} = 3^{2x} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{2x}$.

Подставим преобразованные выражения в неравенство:

$\frac{1}{3} \cdot 3^{2x} + 9 \cdot 3^{2x} \le 28$

Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:

$3^{2x}(\frac{1}{3} + 9) \le 28$

Вычислим сумму в скобках: $\frac{1}{3} + 9 = \frac{1}{3} + \frac{27}{3} = \frac{28}{3}$.

Получаем: $3^{2x} \cdot \frac{28}{3} \le 28$.

Разделим обе части неравенства на $\frac{28}{3}$ (умножим на $\frac{3}{28}$):

$3^{2x} \le 3$

Представим 3 как $3^1$: $3^{2x} \le 3^1$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Поэтому для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$2x \le 1$

Отсюда $x \le \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{2}]$.

в) $(\frac{1}{2})^{-x} + 2^{3+x} \ge 9$

Приведем все степени к основанию 2. Используем свойство $(\frac{1}{a})^n = a^{-n}$, тогда $(\frac{1}{2})^{-x} = (2^{-1})^{-x} = 2^{(-1)(-x)} = 2^x$.

Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для второго слагаемого: $2^{3+x} = 2^3 \cdot 2^x = 8 \cdot 2^x$.

Подставим преобразованные выражения в неравенство:

$2^x + 8 \cdot 2^x \ge 9$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + 8) \ge 9$

Упростим выражение в скобках:

$9 \cdot 2^x \ge 9$

Разделим обе части неравенства на 9:

$2^x \ge 1$

Представим 1 как степень с основанием 2: $1 = 2^0$.

Получаем неравенство: $2^x \ge 2^0$.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

г) $3^{x+2} - 2 \cdot 3^{x+1} + 3^x < 12$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать слагаемые.

$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

Подставим эти выражения в неравенство:

$9 \cdot 3^x - 2 \cdot (3 \cdot 3^x) + 3^x < 12$

Упростим:

$9 \cdot 3^x - 6 \cdot 3^x + 3^x < 12$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(9 - 6 + 1) < 12$

Вычислим значение в скобках:

$3^x \cdot 4 < 12$

Разделим обе части неравенства на 4:

$3^x < 3$

Представим 3 как $3^1$: $3^x < 3^1$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.