Номер 2.207, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.207. Решите неравенство $2^x \geq -x + 1$, используя свойства функций.

Для решения неравенства $2^x \ge -x + 1$ воспользуемся методом сравнения функций. Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям неравенства:

1. $f(x) = 2^x$

2. $g(x) = -x + 1$

Исходное неравенство можно переписать в виде $f(x) \ge g(x)$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен не ниже графика функции $g(x)$.

Проанализируем свойства этих функций:

• Функция $f(x) = 2^x$ — это показательная функция с основанием $a=2 > 1$. Она определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и является строго возрастающей на всей своей области определения. Также она является выпуклой вниз.

• Функция $g(x) = -x + 1$ — это линейная функция, её график — прямая. Коэффициент при $x$ равен $-1$, что означает, что функция является строго убывающей на всей своей области определения $x \in \mathbb{R}$.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$2^x = -x + 1$

Это уравнение не решается стандартными алгебраическими методами. Однако, можно легко найти корень подбором. Проверим значение $x=0$:

Левая часть: $f(0) = 2^0 = 1$

Правая часть: $g(0) = -0 + 1 = 1$

Так как $1 = 1$, то $x=0$ является единственным корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что графики функций пересекаются в точке $(0, 1)$.

Теперь определим, на каких промежутках выполняется неравенство $f(x) \ge g(x)$.

• При $x > 0$: так как $f(x)$ возрастает, то $f(x) > f(0) = 1$. Так как $g(x)$ убывает, то $g(x) < g(0) = 1$. Следовательно, для любого $x > 0$ выполняется $f(x) > g(x)$, то есть $2^x > -x + 1$.

• При $x < 0$: так как $f(x)$ возрастает, то $f(x) < f(0) = 1$. Так как $g(x)$ убывает, то $g(x) > g(0) = 1$. Следовательно, для любого $x < 0$ выполняется $f(x) < g(x)$, то есть $2^x < -x + 1$.

Таким образом, неравенство $f(x) \ge g(x)$ выполняется в двух случаях:

1. Когда $f(x) = g(x)$, то есть при $x=0$.

2. Когда $f(x) > g(x)$, то есть при $x>0$.

Объединяя эти случаи, получаем, что решение неравенства — это все $x$, для которых $x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.