Номер 2.211, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.211. Определите последовательность действий и решите неравенство

$\frac{1}{2^x + 1} \le \frac{15}{16 - 2^x}$

Определите последовательность действий

Для решения данного неравенства необходимо выполнить следующую последовательность шагов:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. В данном случае это означает найти все значения x, при которых знаменатели дробей не обращаются в ноль.
2. Упростить неравенство путем введения новой переменной. Показательное неравенство сводится к рациональному с помощью замены $t = 2^x$. Необходимо учесть, что новая переменная $t$ может принимать только положительные значения ($t > 0$).
3. Решить полученное рациональное неравенство относительно переменной t, используя метод интервалов.
4. Выполнить обратную замену, чтобы вернуться к исходной переменной x, и решить получившееся простейшее показательное неравенство.
5. Соотнести найденное решение с областью допустимых значений и записать окончательный ответ.

Ответ: Последовательность действий определена: нахождение ОДЗ, замена переменной, решение рационального неравенства, обратная замена и проверка соответствия ОДЗ.

и решите неравенство

Дано неравенство:

$ \frac{1}{2^x + 1} \le \frac{15}{16 - 2^x} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

• $ 2^x + 1 \ne 0 $. Это выражение всегда положительно, так как $ 2^x > 0 $ для любого действительного x, поэтому $ 2^x + 1 > 1 $.
• $ 16 - 2^x \ne 0 \implies 2^x \ne 16 \implies 2^x \ne 2^4 \implies x \ne 4 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-\infty, 4) \cup (4, \infty) $.

2. Введем замену переменной.

Пусть $ t = 2^x $. Так как показательная функция $ y=2^x $ всегда положительна, то $ t > 0 $.

Неравенство примет вид:

$ \frac{1}{t + 1} \le \frac{15}{16 - t} $

3. Решим рациональное неравенство относительно t.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1}{t + 1} - \frac{15}{16 - t} \le 0 $

$ \frac{1 \cdot (16 - t) - 15 \cdot (t + 1)}{(t + 1)(16 - t)} \le 0 $

$ \frac{16 - t - 15t - 15}{(t + 1)(16 - t)} \le 0 $

$ \frac{1 - 16t}{(t + 1)(16 - t)} \le 0 $

Для удобства применения метода интервалов изменим знаки в числителе и знаменателе так, чтобы коэффициент при t был положительным:

$ \frac{-(16t - 1)}{(t + 1)(-(t - 16))} \le 0 $

$ \frac{16t - 1}{(t + 1)(t - 16)} \le 0 $

Найдем корни числителя и знаменателя:

• $ 16t - 1 = 0 \implies t = \frac{1}{16} $ (корень числителя, точка закрашенная)
• $ t + 1 = 0 \implies t = -1 $ (корень знаменателя, точка выколотая)
• $ t - 16 = 0 \implies t = 16 $ (корень знаменателя, точка выколотая)

Применяем метод интервалов для переменной t. Отмечаем точки -1, 1/16, 16 на числовой оси и определяем знаки дроби в полученных интервалах. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше либо равно нулю.

Решение для t: $ t \in (-\infty, -1) \cup [\frac{1}{16}, 16) $.

Теперь учтем условие $ t > 0 $, наложенное заменой:

$ t \in ([\frac{1}{16}, 16)) \cap (0, +\infty) \implies t \in [\frac{1}{16}, 16) $.

4. Выполним обратную замену.

Возвращаемся к переменной x:

$ \frac{1}{16} \le t < 16 \implies \frac{1}{16} \le 2^x < 16 $

Представим числа $ \frac{1}{16} $ и $ 16 $ в виде степеней с основанием 2:

$ 2^{-4} \le 2^x < 2^4 $

Так как основание степени $ 2 > 1 $, функция $ y=2^x $ является монотонно возрастающей, поэтому при переходе к показателям степеней знаки неравенства сохраняются:

$ -4 \le x < 4 $

5. Сопоставим с ОДЗ.

Полученное решение $ x \in [-4, 4) $. Это решение полностью входит в ОДЗ ($ x \ne 4 $), так как точка $ x=4 $ не включена в интервал.

Ответ: $x \in [-4, 4)$.