Номер 2.205, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.205. Составьте план решения и решите неравенство

$9^x + 8 \cdot 3^{2x} > 4^x + 5 \cdot 2^{2x}$.

План решения

1. Упростить исходное неравенство, приведя степени к одинаковым основаниям в левой и правой частях соответственно. Заметить, что $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ и $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.
2. Привести подобные слагаемые в левой и правой частях неравенства.
3. Сгруппировать слагаемые с показательной функцией в одной части неравенства, а числовые коэффициенты - в другой. Для этого можно разделить обе части неравенства на одно из показательных выражений, например, на $2^{2x}$. Так как $2^{2x}$ всегда положительно, знак неравенства при делении не изменится.
4. Привести обе части полученного неравенства к степеням с одинаковым основанием.
5. Перейти от неравенства для степеней к неравенству для их показателей. Учесть, что если основание степени больше 1, то знак неравенства сохраняется, а если основание от 0 до 1, то знак меняется на противоположный.
6. Решить полученное линейное неравенство относительно переменной $x$ и записать ответ.

Решение

Дано неравенство:

$9^x + 8 \cdot 3^{2x} > 4^x + 5 \cdot 2^{2x}$

1. Заменим $9^x$ на $(3^2)^x = 3^{2x}$ и $4^x$ на $(2^2)^x = 2^{2x}$. Подставим эти выражения в неравенство:

$3^{2x} + 8 \cdot 3^{2x} > 2^{2x} + 5 \cdot 2^{2x}$

2. Сложим подобные слагаемые в левой и правой частях:

$(1 + 8) \cdot 3^{2x} > (1 + 5) \cdot 2^{2x}$

$9 \cdot 3^{2x} > 6 \cdot 2^{2x}$

3. Чтобы сгруппировать показательные функции, разделим обе части неравенства на $2^{2x}$. Так как показательная функция $y = a^t$ всегда положительна ($2^{2x} > 0$ при любом $x$), знак неравенства не изменится:

$\frac{9 \cdot 3^{2x}}{2^{2x}} > \frac{6 \cdot 2^{2x}}{2^{2x}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$9 \cdot (\frac{3}{2})^{2x} > 6$

4. Изолируем показательную функцию, разделив обе части на 9:

$(\frac{3}{2})^{2x} > \frac{6}{9}$

$(\frac{3}{2})^{2x} > \frac{2}{3}$

5. Представим правую часть неравенства в виде степени с тем же основанием $\frac{3}{2}$. Заметим, что $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$.

Неравенство принимает вид:

$(\frac{3}{2})^{2x} > (\frac{3}{2})^{-1}$

6. Теперь сравним показатели степеней. Основание степени $a = \frac{3}{2}$ больше единицы ($a > 1$), поэтому показательная функция с этим основанием является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует больший показатель степени, и знак неравенства сохраняется:

$2x > -1$

Решим это простое линейное неравенство, разделив обе части на 2:

$x > -\frac{1}{2}$

Решением неравенства является интервал от $-\frac{1}{2}$ до $+\infty$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; +\infty)$.