Номер 2.210, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.210. Решите неравенство, используя метод замены переменной:

а) $2^x + \frac{16}{2^x} > 17$;

б) $5^x + 5^{1-x} \le 6$;

в) $2^{x+1} + 2^{2-x} \ge 9$.

а) $2^x + \frac{16}{2^x} > 17$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$.
Поскольку показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то для новой переменной должно выполняться условие $t > 0$.
Подставим новую переменную в исходное неравенство:
$t + \frac{16}{t} > 17$
Так как $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:
$t \cdot t + \frac{16}{t} \cdot t > 17 \cdot t$
$t^2 + 16 > 17t$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:
$t^2 - 17t + 16 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 17t + 16 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 16. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 16$.
Парабола $y = t^2 - 17t + 16$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 17t + 16 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть $t < 1$ или $t > 16$.
Теперь учтем ограничение $t > 0$:
$\left\{ \begin{array}{l} [ t < 1, \\ t > 16 ] \\ t > 0 \end{array} \right.$
Решением системы являются интервалы $0 < t < 1$ и $t > 16$.
Выполним обратную замену, вернувшись к переменной $x$:
1) $0 < 2^x < 1$. Представим 1 как $2^0$. Получаем $2^x < 2^0$. Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $x < 0$.
2) $2^x > 16$. Представим 16 как $2^4$. Получаем $2^x > 2^4$. Так как основание $2 > 1$, то $x > 4$.
Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

б) $5^x + 5^{1-x} \le 6$

Преобразуем второй член в левой части неравенства, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$5^{1-x} = \frac{5^1}{5^x} = \frac{5}{5^x}$.
Неравенство принимает вид:
$5^x + \frac{5}{5^x} \le 6$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Поскольку $5^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.
Получаем неравенство относительно $t$:
$t + \frac{5}{t} \le 6$
Умножим обе части на $t > 0$:
$t^2 + 5 \le 6t$
$t^2 - 6t + 5 \le 0$
Найдем корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.
Парабола $y = t^2 - 6t + 5$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 6t + 5 \le 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями, включая сами корни: $1 \le t \le 5$.
Это решение полностью удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену:
$1 \le 5^x \le 5$
Представим 1 как $5^0$ и 5 как $5^1$:
$5^0 \le 5^x \le 5^1$
Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знаки неравенства сохраняются для показателей:
$0 \le x \le 1$.

Ответ: $[0, 1]$.

в) $2^{x+1} + 2^{2-x} \ge 9$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$2^x \cdot 2^1 + \frac{2^2}{2^x} \ge 9$
$2 \cdot 2^x + \frac{4}{2^x} \ge 9$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
Получаем неравенство относительно $t$:
$2t + \frac{4}{t} \ge 9$
Умножим обе части на $t > 0$:
$2t^2 + 4 \ge 9t$
$2t^2 - 9t + 4 \ge 0$
Найдем корни уравнения $2t^2 - 9t + 4 = 0$, используя формулу для корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 7}{4}$.
$t_1 = \frac{9-7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{9+7}{4} = \frac{16}{4} = 4$
Парабола $y = 2t^2 - 9t + 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство $2t^2 - 9t + 4 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни: $t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge 4$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем два случая:
1) $0 < t \le \frac{1}{2}$
2) $t \ge 4$
Выполним обратную замену:
1) $0 < 2^x \le \frac{1}{2}$. Представим $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$. Получаем $2^x \le 2^{-1}$. Так как основание $2 > 1$, то $x \le -1$.
2) $2^x \ge 4$. Представим 4 как $2^2$. Получаем $2^x \ge 2^2$. Так как основание $2 > 1$, то $x \ge 2$.
Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$.