Номер 2.217, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.217. Представьте число:

а) 2 в виде степени с основанием 3;

б) 7 в виде степени с основанием 10;

в) $\sqrt{3}$ в виде степени с основанием 7;

г) 2,5 в виде степени с основанием 15.

а) Для того чтобы представить число 2 в виде степени с основанием 3, мы используем основное логарифмическое тождество: $b = a^{\log_a b}$. Это тождество следует напрямую из определения логарифма. В данном случае, число $b=2$, а основание степени $a=3$. Подставляя эти значения в тождество, получаем: $2 = 3^{\log_3 2}$. Таким образом, мы представили число 2 в виде степени с основанием 3.
Ответ: $3^{\log_3 2}$.

б) Используя основное логарифмическое тождество $b = a^{\log_a b}$, представим число 7 в виде степени с основанием 10. Здесь число $b=7$ и основание $a=10$. Подставляя значения, получаем равенство: $7 = 10^{\log_{10} 7}$. Логарифм по основанию 10 также называют десятичным логарифмом и обозначают как $\lg$, поэтому запись может выглядеть как $7 = 10^{\lg 7}$.
Ответ: $10^{\log_{10} 7}$.

в) Применяем основное логарифмическое тождество $b = a^{\log_a b}$ для числа $b=\sqrt{3}$ и основания $a=7$. Нам нужно найти такой показатель степени $x$, что $7^x = \sqrt{3}$. По определению логарифма, $x = \log_7 \sqrt{3}$. Подставляя это в степенное выражение, мы получаем искомое представление: $\sqrt{3} = 7^{\log_7 \sqrt{3}}$.
Ответ: $7^{\log_7 \sqrt{3}}$.

г) Чтобы представить число 2,5 в виде степени с основанием 15, снова воспользуемся основным логарифмическим тождеством $b = a^{\log_a b}$. В данном случае число $b=2,5$ и основание $a=15$. Подставив эти значения в тождество, мы получаем: $2,5 = 15^{\log_{15} 2,5}$.
Ответ: $15^{\log_{15} 2,5}$.