Номер 2.220, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.220. Найдите значение выражения:

a) $log_2 log_5 625$;

б) $log_9 log_7 \sqrt[3]{7}$.

а) $\log_2\log_5 625$

Для решения этого выражения необходимо вычислять логарифмы последовательно, начиная с внутреннего.

1. Сначала вычислим внутренний логарифм: $\log_5 625$.

По определению логарифма, $\log_b a = c$ означает, что $b^c = a$. Нам нужно найти такое число $x$, для которого $5^x = 625$.

Мы знаем, что $625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.

Таким образом, $\log_5 625 = 4$.

2. Теперь подставим полученное значение во внешнее выражение:

$\log_2(\log_5 625) = \log_2 4$.

3. Вычислим $\log_2 4$. Нам нужно найти такое число $y$, для которого $2^y = 4$.

Так как $2^2 = 4$, то $y=2$.

Следовательно, $\log_2 4 = 2$.

Ответ: 2

б) $\log_9\log_7 \sqrt[3]{7}$

Так же, как и в предыдущем примере, начнем с вычисления внутреннего логарифма.

1. Сначала вычислим $\log_7 \sqrt[3]{7}$.

Представим кубический корень в виде степени: $\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$.

Теперь выражение принимает вид: $\log_7 (7^{\frac{1}{3}})$.

Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:

$\log_7 (7^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}$.

2. Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\log_9(\log_7 \sqrt[3]{7}) = \log_9 \left(\frac{1}{3}\right)$.

3. Вычислим $\log_9 \left(\frac{1}{3}\right)$. Пусть это значение равно $z$, тогда $9^z = \frac{1}{3}$.

Чтобы решить это уравнение, приведем обе его части к одному основанию, например, к основанию 3.

$9 = 3^2$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Подставим эти значения в уравнение:

$(3^2)^z = 3^{-1}$

$3^{2z} = 3^{-1}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2z = -1$

$z = -\frac{1}{2}$

Следовательно, $\log_9 \left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$