Номер 2.226, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.226. Спортсмен во время велотренировки первую половину дистанции прошел со скоростью $30\frac{\text{КМ}}{\text{Ч}}$, а вторую половину дистанции — со скоростью $24\frac{\text{КМ}}{\text{Ч}}$. По планам тренировок средняя скорость движения спортсмена во время этой тренировки должна была составлять не менее $27\frac{\text{КМ}}{\text{Ч}}$. Достиг ли спортсмен поставленной цели?

Для того чтобы определить, достиг ли спортсмен поставленной цели, необходимо рассчитать его фактическую среднюю скорость за всю тренировку и сравнить ее с плановой скоростью, которая должна быть не менее $27 \, \frac{км}{ч}$.

Средняя скорость ($v_{ср}$) вычисляется по формуле как отношение всего пройденного пути ($S_{общ}$) ко всему затраченному времени ($t_{общ}$):

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть вся дистанция тренировки равна $S$. Спортсмен прошел первую половину дистанции ($\frac{S}{2}$) со скоростью $v_1 = 30 \, \frac{км}{ч}$ и вторую половину ($\frac{S}{2}$) со скоростью $v_2 = 24 \, \frac{км}{ч}$.

Найдем время, затраченное на каждый участок пути, используя формулу $t = \frac{расстояние}{скорость}$:

Время на первом участке: $t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S/2}{30} = \frac{S}{60}$ часа.

Время на втором участке: $t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S/2}{24} = \frac{S}{48}$ часа.

Общее время в пути $t_{общ}$ равно сумме времен на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{60} + \frac{S}{48}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 60 и 48 равно 240.

$t_{общ} = \frac{4 \cdot S}{240} + \frac{5 \cdot S}{240} = \frac{4S + 5S}{240} = \frac{9S}{240}$ часа.

Теперь можем рассчитать среднюю скорость за всю дистанцию $S_{общ} = S$:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{9S}{240}} = S \cdot \frac{240}{9S} = \frac{240}{9} = \frac{80}{3}$ км/ч.

Для удобства сравнения переведем полученную дробь в смешанное число:

$v_{ср} = \frac{80}{3} = 26 \frac{2}{3}$ км/ч.

Теперь сравним фактическую среднюю скорость с плановой:

$26 \frac{2}{3} \, \frac{км}{ч} < 27 \, \frac{км}{ч}$.

Фактическая средняя скорость спортсмена ($26 \frac{2}{3} \, \frac{км}{ч}$) оказалась меньше, чем минимально требуемая по плану ($27 \, \frac{км}{ч}$). Следовательно, спортсмен не достиг поставленной цели.

Ответ: нет, спортсмен не достиг поставленной цели.