Номер 2.225, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.225. Расположите в порядке убывания числа $sin4$, $sin3$, $sin2$.

Для того чтобы расположить числа $sin(4)$, $sin(3)$ и $sin(2)$ в порядке убывания, необходимо сравнить их значения. Аргументы функции синус в данном случае представлены в радианах. Для сравнения определим положение углов 2, 3 и 4 радиана на тригонометрической окружности, используя приближенные значения $\pi \approx 3.14$ и $\pi/2 \approx 1.57$.

Сначала определим знаки синусов для каждого из углов:

1. Угол в 2 радиана: так как выполняется неравенство $\pi/2 < 2 < \pi$ (приблизительно $1.57 < 2 < 3.14$), этот угол находится во второй координатной четверти. Синус во второй четверти положителен, следовательно, $sin(2) > 0$.

2. Угол в 3 радиана: так как выполняется неравенство $\pi/2 < 3 < \pi$ (приблизительно $1.57 < 3 < 3.14$), этот угол также находится во второй координатной четверти. Синус здесь также положителен, следовательно, $sin(3) > 0$.

3. Угол в 4 радиана: так как выполняется неравенство $\pi < 4 < 3\pi/2$ (приблизительно $3.14 < 4 < 4.71$), этот угол находится в третьей координатной четверти. Синус в третьей четверти отрицателен, следовательно, $sin(4) < 0$.

Из этого анализа следует, что $sin(4)$ является наименьшим из трех чисел, поскольку оно единственное отрицательное, в то время как $sin(2)$ и $sin(3)$ положительны.

Теперь необходимо сравнить между собой положительные числа $sin(2)$ и $sin(3)$. На промежутке $[\pi/2, 3\pi/2]$ функция $y = sin(x)$ является убывающей. Оба угла, 2 и 3 радиана, принадлежат этому промежутку. Поскольку $2 < 3$, а функция синуса на данном промежутке убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом, получаем неравенство $sin(2) > sin(3)$.

Объединяя все полученные неравенства, имеем: $sin(2) > sin(3) > sin(4)$.

Ответ: $sin(2), sin(3), sin(4)$.