Номер 2.223, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.223. Воспользуйтесь формулой разложения квадратного трехчлена на множители и сократите рациональную дробь $\frac{3x^2 - x - 2}{4x^2 - 3x - 1}$.

Для сокращения рациональной дроби необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители. Воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители: $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Разложение числителя на множители

Рассмотрим числитель дроби: $3x^2 - x - 2$.

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - x - 2 = 0$.

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -1$, $c = -2$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем корни $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Теперь разложим трехчлен на множители:

$3x^2 - x - 2 = 3(x - (-\frac{2}{3}))(x - 1) = 3(x + \frac{2}{3})(x - 1) = (3x + 2)(x - 1)$.

2. Разложение знаменателя на множители

Рассмотрим знаменатель дроби: $4x^2 - 3x - 1$.

Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - 3x - 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -3$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем корни $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - 5}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + 5}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Теперь разложим трехчлен на множители:

$4x^2 - 3x - 1 = 4(x - (-\frac{1}{4}))(x - 1) = 4(x + \frac{1}{4})(x - 1) = (4x + 1)(x - 1)$.

3. Сокращение дроби

Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{3x^2 - x - 2}{4x^2 - 3x - 1} = \frac{(3x + 2)(x - 1)}{(4x + 1)(x - 1)}$.

Сократим общий множитель $(x - 1)$, при условии, что $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

$\frac{(3x + 2)\cancel{(x - 1)}}{(4x + 1)\cancel{(x - 1)}} = \frac{3x + 2}{4x + 1}$.

Ответ: $\frac{3x + 2}{4x + 1}$