Номер 2.230, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.230. Определите, четной или нечетной является функция:

а) $f(x) = x^3 - 4x$;

б) $f(x) = \frac{x^4}{x^2 - 9}$.

Приведите пример функции, которая не является ни четной, ни нечетной.

а) $f(x) = x^3 - 4x;$

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проверить два условия: симметричность области определения относительно нуля и выполнение одного из равенств: $f(-x) = f(x)$ (для четной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной функции).

1. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x$

3. Теперь сравним полученное выражение $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.

Сравним с $f(x) = x^3 - 4x$. Видим, что $f(-x) \neq f(x)$. Значит, функция не является четной.

Сравним с $-f(x) = -(x^3 - 4x) = -x^3 + 4x$. Видим, что $f(-x) = -f(x)$.

Поскольку выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

б) $f(x) = \frac{x^4}{x^2 - 9};$

1. Найдем область определения функции. Она определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0$, что означает $x^2 \neq 9$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x)^4}{(-x)^2 - 9} = \frac{x^4}{x^2 - 9}$

3. Сравним полученное выражение $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = \frac{x^4}{x^2 - 9}$ и $f(x) = \frac{x^4}{x^2 - 9}$.

Поскольку выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

Приведите пример функции, которая не является ни четной, ни нечетной.

Функция, которая не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), — это функция, для которой не выполняется ни условие $f(-x) = f(x)$, ни условие $f(-x) = -f(x)$, при симметричной области определения.

В качестве примера можно взять сумму любой ненулевой четной и любой ненулевой нечетной функции. Например, рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + x$.

1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = x^2 + x$. Очевидно, что $f(-x) \neq f(x)$.

$-f(x) = -(x^2 + x) = -x^2 - x$. Очевидно, что $f(-x) \neq -f(x)$.

Так как не выполняется ни одно из условий четности или нечетности, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: например, $f(x) = x^2 + x$.